高三数学三选二材料矩阵1．设，求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。解：矩阵A的特征多项式为令，得矩阵A的特征值为对于特征值解相应的线性方程组得一个非零解，因此，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。对于特征值解相应的线性方程组得一个非零解，因此，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。2．已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．解：设A=，由题知=，=3，∴A=3．若矩阵有特征向量和，且它们所对应的特征值分别为.（Ⅰ）求矩阵及其逆矩阵;（Ⅱ）求逆矩阵的特征值及特征向量;(Ⅲ)对任意向量求（1）解：（Ⅰ），（Ⅱ）特征值，对应的特征向量（），特征值，对应的特征向量(t0)(Ⅲ)，＝4．将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．解：由题意，得旋转变换矩阵，设上的任意点P(x,y)在变换矩阵M作用下为P()，，代入，得，∴得所求曲线为．将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为．5．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2).(Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵；(Ⅱ)设直线在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程．设,则有=,=,所以,解得所以M=,从而=(Ⅱ)因为且m：2，所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4=0,这就是直线l的方程6．已知,求矩阵B.解一：设A∴∴∴B＝7．把曲线先进行横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变的伸缩变换，再做关于x轴的反射变换变为曲线C，求Ｃ的方程．解：先伸缩变换M=后反射变换N=,得A=NM==在A变换下得到曲线C为。（二）不等式1．设函数（1）解不等式；（2）若的取值范围。．解：（1）当x时，化为：，得(2)时，化为：，得（3）x时，化为，得x综上，原不等式的解集为[2，（或画函数图像解）画函数图像解知又∵恒成立∴a<，即实数a的取值范围是2．对于任意的实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围.化为恒成立，=2，解得。3．关于x的二次方程有实根，求a的取值范围。4．已知关于的不等式（是常数）的解是非空集合，则的取值范围是．由已知化为：有解，，可得5．设为正数且，求证:.左=6．已知x，y均为正数，且x＞y，求证：．解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，=，所以．7．设x,y,z为正数，证明：2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).因为所以同理,三式相加即可得又因为所以8．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求x2＋4y2＋z2的最小值.由柯西不等式得：（当且仅当等号成立）9．已知函数，则函数的最大值为___________5=5，当且仅当时等号成立。10.所以最小值为，当且仅当。参数与极坐标方程1．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是（a是非零常数）。（1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若两圆的圆心距为，求a的值。解：（1）两圆的极坐标方程可化为∴两圆的直角坐标方程是（2）根据（1）可知道两圆心的直角坐标是O1（1，0）和O2（0，a）2．在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值.(2)将极坐标方程转化为普通方程：可化为在上任取一点A,则点A到直线的距离为,它的最大值为43．在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是．由，得，由点对应直角坐标系点（2，2），数形结合得切线为,所以切线的极坐标方程为。4.在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值.将极坐标方程转化为普通方程：可化为在上任取一点A,则点A到直线的距离为,它的最大值为45.已知直线的参数方程：（为参数），圆C的极坐标方程：，试判断直线与圆C的位置关系．将直线的参数方程化为普通方程为：将圆C的极坐标方程化为普通方程为：从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径，所以，圆心C到直线的距离所以直线与圆C相交．