第二章微积分的研究对象——函数、连续函数心之官则思，思则得之，不思则不得也——孟子《告子上》一种科学，只有在成功地运用数学时，才算达到真正完善的地步。——法拉格《回忆马克思恩格斯》本章简介在自然界、人类社会和人们的思维领域，运动与变化无处不在，因而刻画这种运动与变化的量与量之间的依赖关系也就无处不在。例如，在知识经济初见端倪的今日，科学技术作为一种重要的变量因子，对生产力的发展起着重大的推动作用，更深刻地影响着人类历史的发展进程。早在文艺复兴末期的16世纪，社会处于封建社会瓦解、资本主义兴起的大变动时期，那时的力学、天文学等自然科学为适应实践的需要，把运动作为研究的主题，对各种变化过程和过程中的量与量之间的依赖关系的研究，产生了函数这一概念。函数就是从量的角度对运动变化这一永恒真理的抽象描述，是刻画运动变化中变量相依关系的抽象数学模型。这一模型的建立并不是某个数学家或科学家一朝一夕完成的，而是经由伽利略（Galileo,意，1564—1642）、笛卡儿（Descartes，法，1596—1650）、牛顿（Newton，英，1642—1727）、莱布尼茨（Leibniz，德，1646—1716）、欧拉（Euler，瑞士，1707—1783）、狄利克雷（Dirichlet，德，1805—1859）等许多科学家和数学家的思索、提炼、才形成今日一般人所理解的函数模型，随着人们认识的深化，函数这一模型也不断地得到改进和拓展。笛卡儿创立坐标几何后使变量和函数概念进入数学，从而改变了数学发展的历史进程，使得数学从常量数学转入到变量数学，即微积分。微积分的研究对象是函数，特别是连续函数。本章将介绍函数概念、初等函数、函数模型的构建，以及连续函数的概念和性质。§1微积分的主要研究对象——初等函数§1.1变量相依关系的数学模型——函数提出问题在生产实践和科学研究中，会碰到各种各样的量。在某个问题的研究过程中，保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。函数就是刻画变量间在运动变化中相依关系的数学模型，先看下面的例子。学习过程例1心理学研究表明，小学生对新概念的接受能力G（即学习兴趣、注意力、理解力的某种量度）随学习时间t的变化规律为接受能力曲线如图2.1所示通过函数表达式的分析和曲线的几何形态可以了解儿童的接受能力G(t)随时间t的变化规律，即接受能力何时上升、何时达到顶峰、何时下降。由此例可抽象出函数概念。数学模型定义如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个变化范围X内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作，x叫做自变量，x的取值范围X叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Y叫做函数的值域。如果对于确定的，通过对应法则f，因变量y有唯一确定的实数值y0相对应，则称函数在点x0有定义域、对应法则和值域三个要素所构成的。定义域和对应法则是主导要素，值域是派生要素。这一模型如同一部机器，把X中的任一原材料x输入f()，便能产出实数。由中学内容可知函数的表示法通常有三种，即解析法、图像法，表格法。下面我们对函数的三种表示法的优缺点进行比较：解析法的优点在于能做具体运算，并利于理论研究，它是表示函数的基本方法，然而不是所有的函数都能表示为解析式。在实际应用中，为了把某种研究课题理论化，有时也采用一定的数学方法，把不能表示为解析式的函数近似地表示为解析式。如在自然科学和社会科学中，常采用线性化的方法近似地描述某些变量的变化规律。图像法的优点是能借助曲线直观地观察因变量随自变量变化的特性。它的缺点是不宜运算，因而不便于作精细的理论研究。表格法的优点在于能直接查到自变量对应的函数值，因而在生产部门和管理部门得到广泛应用，一些科技手册也采用了这种方法。在应用中有时混合使用解析法、图像法和表格法来表示函数。有些函数在其定义域上的对应法则不能由一个式子表示，而是在定义域的不同区段上由不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数。见下例。实际问题例2在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一项重要经济指标。联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格尔系数小于20为绝对富裕，20以上小于40属比较富裕，40以上小于50算小康水平，50以上小于60刚够温饱，60以上则为贫困，试以图像法表示国民富裕程度。解以x表恩格尔系数，对富裕程度分别适当赋值，以y表之，则国民富裕程度如图2.2所示。研究函数常常涉及函数的一些基本性质。如我们在中学已经学过的函数的单调性、奇偶性、周期性等。此外，函数的有界性也是函数的基本