2019年上海闵行区上海交通大学自主招生数学试卷-学生用卷一、综合题（本大题共18小题）1、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第1题3+4，且ᵅ(lg⁡log10)=5，求ᵅ(lg⁡lg⁡3)．已知ᵅ(ᵆ)=ᵄsin⁡ᵆ+ᵄ√ᵆ32、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第2题ᵰ已知0<ᵄ<1，0<ᵰ<，若ᵆ=(sinᵰ)logᵄsin⁡ᵰ，ᵆ=(cosᵰ)logᵄtan⁡ᵰ，ᵆ=(sin⁡ᵰ)logᵄtan⁡ᵰ，4试比较ᵆ，ᵆ，ᵆ的大小．3、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第3题4+ᵄᵆ−4=0各个实根为ᵆ(ᵅ⩽4)，若点(ᵆ,4)，ᵅ=1，2，⋯，ᵅ均已知方程ᵆ1，ᵆ2，⋯，ᵆᵅᵅᵆᵅ在直线ᵆ=ᵆ同侧，求ᵄ的取值范围．4、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第4题已知复数ᵆ满足|ᵆ|=1，且ᵆ2−2ᵄᵆ+ᵄ2−ᵄ=0，求负实数ᵄ的值．5、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第5题若方程ᵆ3−3ᵆ2+(ᵅ+2)ᵆ−ᵅ=0的三个根可以作为三角形的三边长，求ᵅ的范围．6、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第6题对于ᵅ，ᵅ∈ᵁ+，若(√3+i)ᵅ=(1−i)ᵅ，求ᵅ−ᵅ的最小值．7、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第7题已知数列{ᵆ}满足：ᵆ=3√3，ᵆ=(ᵆ)3√3，若ᵆ∈ᵁ，求ᵅ的最小值．ᵅ1ᵅᵅ−1ᵅ8、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第8题，设(ᵆ−√2)2019展开式中ᵆ奇次幂的项的和为ᵄ(ᵆ)，求ᵄ(√2)．9、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第9题已知ᵆ，ᵆ，ᵆ不全为0，求ᵆᵆ+2ᵆᵆ最大值．ᵆ2+ᵆ2+ᵆ210、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第10题已知△ᵃᵃᵃ的面积为2，ᵃ在线段ᵃᵃ上，ᵃ在线段ᵃᵃ上，ᵃ在线段ᵃᵃ上，且满足ᵃᵃ=ᵆ，ᵃᵃ=ᵆ，ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=ᵆ，若ᵆ+ᵆ−ᵆ=1，求△ᵃᵃᵃ的面积的最大值．ᵃᵃ11、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第11题对定义域内任意的ᵆ，ᵆ，若满足ᵅ(ᵆ+ᵆ)⩽ᵅ(ᵆ)+ᵅ(ᵆ)，则称ᵅ(ᵆ)为凸函数，下列函数是凸函数的是22（）．A.ᵅ(ᵆ)=2ᵆB.ᵅ(ᵆ)=ᵆ3()ᵆC.ᵅᵆ=log2ᵆ,ᵆ<0()D.ᵅᵆ={2ᵆ,ᵆ>012、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第12题||=4，且满足4ᵆ2−2ᵆᵆ+ᵆ2=0，求△ᵃᵄᵃ的面积．已知复数ᵆ1，ᵆ2所对应的点为ᵃ，ᵃ，若ᵆ1112213、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第13题实数ᵄ，ᵄ满足4ᵄ2−5ᵄᵄ+4ᵄ2=19，求ᵄ2+ᵄ2最大值．14、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第14题在△ᵃᵃᵃ中，满足ᵄ+ᵅ=3ᵄ，求tan⁡ᵃtan⁡ᵃ．22，15、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第15题ᵅ+ᵄ+⋯+ᵄ数列ᵄᵅ是7的末两位数，求ᵄ122019．16、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第16题ᵄ为△ᵃᵃᵃ的外心，ᵄ到三边ᵄ，ᵄ，ᵅ的距离分别为ᵅ，ᵅ，ᵅ，则()A.ᵅ:ᵅ:ᵅ=ᵄ:ᵄ:ᵅB.ᵅ:ᵅ:ᵅ=1:1:1ᵄᵄᵅC.ᵅ:ᵅ:ᵅ=sin⁡ᵃ:sin⁡ᵃ:sin⁡ᵃD.ᵅ:ᵅ:ᵅ=cos⁡ᵃ:cos⁡ᵃ:cos⁡ᵃ17、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第17题定义平面上两点(ᵅ,ᵅ)，(ᵄ,ᵄ)的折线距离为ᵅ
=|ᵅ−ᵄ|+|ᵅ−ᵄ|，若平面上一点ᵄ到(−1,2)，(3,1)，(3,5)，(−2,4)，(4,4)，(6,6)的折线距离之和最小，则ᵄ点坐标为．18、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第18题已知ᵃ={(ᵆ,ᵆ)|ᵆ⩾ᵆ2}，ᵃ={(ᵆ,ᵆ)|ᵆ2+(ᵆ−ᵄ)2⩽1}，则ᵃ∩ᵃ=ᵃ的充要条件是()A.ᵄ=54B.ᵄ⩾54C.ᵄ⩾1D.0