一个在数学世界里迷路的小书童年上海交通大学自主招生试题解析1.已知，且，求解：因为，则2.已知，若，试比较的大小解：易知当时则3.已知方程各个实根为，若点均在直线同侧，求的取值范围解：因为，则而函数与相交于和两点，则易知或一个在数学世界里迷路的小书童4.已知复数满足，且，求负实数的值解：设，因为，则情形一：当时，则解得情形二：当时，则或因为，所以此时无解综上所述：5.若方程的三个根可以作为三角形的三边长，求的范围解：因为，则，令且，解情形一：当，满足题意，则此时情形二：当，则只需满足即解得，综上所述：2一个在数学世界里迷路的小书童6.对于，若，求的最小值解：因为，所以时，又时，则所以所以时，即时，，此时最小，最小值为7.已知数列满足：，若，求的最小值解：因为，则而，则所以的最小值为8.设展开式中奇次幂的项的和为，求解：由题意可知则3一个在数学世界里迷路的小书童9.已知不全为，求最大值解：因为求的最大值，不妨设而，则所以最大值为，当且仅当，时，等号成立10.已知的面积为，在线段上，在线段上，在线段上，且满足，若，求的面积的最大值解：设，则又，所而此时由三元均值当且仅当时，等号成立11.对定义域内任意的，若满足，则称为凸函数，下列函数是凸函数的是（）解：易知选4一个在数学世界里迷路的小书童12.已知复数所对应的点为，若，且满足，求的面积解：设，因为，则情形一：当，则而情形二：当时，同理可得综上所述：的面积为13.实数满足，求最大值解：因为，解得当且仅当时，等号成立14.在中，满足，求解：15.数列是的末两位数，求解：易知数列的周期为，而所以5一个在数学世界里迷路的小书童16.为的外心，到三边的距离分别为，则（）解：因为则所以同理可得，故选17.定义平面上两点的折线距离为，若平面上一点到，的折线距离之和最小，则点坐标为解：设点，则折线距离之和由绝对值的几何意义可知此时，则点坐标为6一个在数学世界里迷路的小书童18.已知，，则的充要条件是（）解：由题意可知当抛物线与圆相切时整理可得而，解得故选