２０１９年上海交通大学自主招生数学试题(部分)及其详解甘志国(北京市丰台二中１０００７１)摘要:文章根据考生回忆只给出了２０１９年上海交通大学自主招生数学试题中的２６道题ꎬ并给出了其详解.关键词:２０１９年上海交通大学自主招生数学试题ꎻ回忆版ꎻ详解中图分类号:Ｇ６３２文献标识码:Ａ文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３４－００５０－０８２０１９年上海交通大学自主招生数学试题涉及集合、６.已知(３＋ｉｍ)＝(１－ｉｎ)(ｍꎬｎ∈Ｎ∗)ꎬ求ｎ－ｍ的命题、函数、解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几最小值.何、平面解析几何、二项式定理、复数与平面几何等内容ꎬ７.已知数列ｘ＝３３ꎬｘ＝(ｘ)(ｎ∈{}满足ｘ３３ｎ１ｎ＋１ｎ难度适中.文章还给出了部分试题的出处.Ｎ∗).若ｘ∈Ｚꎬ求ｎ的最小值.ｎ本文中的题目是笔者综合多位考生的回忆得到的ꎬ８.设(ｘ－２)２０１９的展开式中ｘ的奇次幂项的和为题目不全.解答由笔者独立完成.Ｓ(ｘ)ꎬ求Ｓ(２).１.已知ｆ(ｘ)＝ａｓｉｎｘ＋ｂ３ｘ＋４(ａꎬｂ∈Ｒ)ꎬ且ｘｙ＋２ｙｚｆ(ｌｇ(ｌｏｇ１０))＝５ꎬ则ｆ(ｌｇ(ｌｇ＝３))().９.已知ｘꎬｙꎬｚ不全为０ꎬ求的最大值.３ｘ２＋ｙ２＋ｚ２Ａ.－５Ｂ.－３Ｃ.３１０.如图１所示ꎬ已知Ｄ.随ａꎬｂ取不同值而取不同值△ＡＢＣ的面积为２ꎬＤ、Ｅ分别π２.已知０<ａ<１ꎬ０<θ<.若ｘ＝(ｓｉｎθ)ｌｏｇｓｉｎθꎬｙ＝为边ＡＢ、ＡＣ上的点ꎬＦ为线段４ａＡＤＡＥ(ｃｏｓθ)ｌｏｇｔａｎθꎬｚ＝(ｓｉｎθ)ｌｏｇｔａｎθꎬ试比较ｘꎬｙꎬｚ的大小.ＤＥ上的点.若＝ｘꎬ＝ｙꎬａａＡＢＡＣ３.方程ｘ２＋２ｘ－１＝０的解可视为函数ｙ＝ｘ＋２的ＤＦ＝ｚꎬ且ｙ＋ｚ－ｘ＝１ꎬ则１ＤＥ４＋ａｘ－图１图象与函数ｙ＝ｘ的图象交点的横坐标.若方程ｘ△ＢＤＦ面积的最大值为４＝０的各个实根ｘꎬｘꎬခºꎬｘ(ｋ≤４)所对应的点().１２ｋ４８１０１４１６æｘꎬö(ｉ＝１ꎬ２ꎬｋခº)均在直线ꎬｙ＝ｘ的同侧ꎬ则实数ａＡ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.èçｉｘø÷２７２７２７２７ｉ的取值范围是１１.设函数ｆ(ｘ)的定义域是Ｄ.若∀ｘꎬｙ∈Ｄꎬｆæｘ＋ｙö４.已知复数ｚ满足ｚ＝１ꎬ且ｚ－２ａｚ＋ａ－ａ＝０ꎬ求２２２èçø÷负数ａ的值.≤ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)(当且仅当ｘ＝ｙ时取等号)ꎬ则称ｆ(ｘ)为凸２５.若关于ｘ的方程ｘ３－３ｘ２＋(ｍ＋２)ｘ－ｍ＝０的三个根是某个三角形的三边长ꎬ求实数ｍ的取值范围.函数.在下列函数中为凸函数的是().收稿日期:２０１９－０９－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ湖北省竹溪人ꎬ研究生ꎬ高级教师ꎬ特级教师.从事解题研究、高考研究和初等数学研究.基金项目:本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(课题编号ＦＴ２０１７ＧＤ００３ꎬ课题负责人:甘志国)阶段性研究成果.—５０—Ａ.ｆ(ｘ)＝２Ｂ.ｆ(ｘ)＝ｘꎬａꎬａꎬａꎬａꎻ以Ｄｘ３点ꎬ其余顶点为终点的向量分别为ａ１２３４５{ｘꎬｘ<０为起点ꎬ其余顶点为终点的向量分别为ｄꎬｄꎬｄꎬｄꎬｄ.Ｃ.ｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘＤ.ｆ(ｘ)＝１２３４５２２ｘꎬｘ>０若ｍꎬＭ分别为(ａ＋ａ＋ａ)ခp(ｄ＋ｄ＋ｄ)的最小值与ｉｊｋｒｓｔ１２.在复平面ｘＯｙ上ꎬ已知复数ｚꎬｚ所对应的点分别最大值ꎬ其中{ｉꎬｊꎬｋ}⊆{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ꎬ{ｒꎬｓꎬｔ}⊆１２{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ꎬ则().为ＡꎬＢꎬ若ｚ＝４ꎬ４ｚ２－２ｚｚ＋ｚ２＝０ꎬ求△ＡＯＢ的面积.１１１２２１３.已知实数ａꎬｂ满足４ａ２－５ａｂ＋４ｂ２＝１９ꎬ求ａ２＋ｂ２Ａ.ｍ＝０ꎬＭ>０Ｂ.ｍ<０ꎬＭ>０Ｃ.ｍ<０ꎬＭ＝０Ｄ.ｍ<０ꎬＭ<０的最大值.１４.在△ＡＢＣ中ꎬ设角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且２３.如图２所示ꎬ在体积为１的三棱锥Ａ－ＢＣＤ的侧ＡｔａｎＣ棱ＡＢꎬＡＣꎬＡＤ上分别取点ＥꎬＦꎬＧꎬ使满足ａ＋ｃ＝３ｂꎬ则ｔａｎ２２的值为().ＡＥ＝ＡＦ＝ＡＧ＝２ꎬ记Ｏ为平面１１１２得ＥＢＦＣＧＤＡ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.５４２３ＢＣꎬＧＣＤꎬＥＤＢＦ的交点ꎬ则三棱锥Ｏ１５.已知ａ＝７ꎻ当ｎ≥２时ꎬａ表示７ｎ的末两位数字－ＢＣＤ的体积为().１ｎ之和.求ａ＋ａ＋ａ＋ခº＋ａ.１１１２３２０１９Ａ.Ｂ.１６.已知锐角△ＡＢＣ的外接圆的圆心为Ｏꎬ点Ｏ到直９８１１线ＢＣꎬＣＡꎬＡＢ的距离分别为ｋꎬｍꎬｎ.若ＢＣ＝ａꎬＣＡ＝ｂꎬＡＢＣ.Ｄ.图２７４＝ｃꎬ则ｋ∶ｍ∶ｎ＝().２４.已知ａ>ｂ>ｃꎬａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬ直线ｙ＝－ｂｘ与抛物１１１Ａ.ａ∶ｂ∶ｃＢ.∶∶ａｂｃ线ｙ＝ａｘ２＋