PAGE\*MERGEFORMAT8人在雨中行走的淋雨量讨论摘要本题讨论的问题是人在雨中沿直线跑一段路程，若雨速为常数且方向不变，是否跑得越快淋雨量越少，即在此情况下，建立表示淋雨量与跑步速度、雨速、降雨量、跑步距离等相关参数的函数关系的数学模型，进而进行淋雨量与跑步速度关系的分析。本题中降雨量指的是雨速方向与淋雨面垂直时，单位时间内在单位淋雨面聚积的雨水深度。为简化问题，将人体看做一个高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m的长方体，则淋雨量为除底面外长方体表面接收雨水的总体积。问题一中，不考虑雨的方向，且假设降雨淋遍全身，人以最大速度vm跑完全程d=1000m，则淋雨面为除底面外的另五个面，且雨速分别与五个面垂直。此时得到淋雨量近似为0.0024m3。问题二中，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为θ，则淋雨面为头顶与前身面积之和。因雨速不与淋雨面垂直，将雨速分解为分别与头顶、前身垂直的竖直分量u1、水平分量u2，此时得到淋雨量与跑步速度等参数的函数关系为W=ccosθ+ausinθ+vuwbdv经计算，当v=5m/s时，W最小。当θ=0时，W=0.0012m3；当θ=30时，W=0.0016m3。问题三中，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为α，则淋雨面为头顶与后背面积之和。因雨速不与淋雨面垂直，同样将雨速分解为分别与头顶、后背垂直的竖直分量u1、水平分量u2，此时得到淋雨量与跑步速度等参数的函数关系为W=bcdwcosαv+usinα-vuwabdv经计算，当v=2m/s时，总淋雨量最少；当α=30。时,W=0.2405556E-03。问题四中，以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，利用MATLAB画出α分别为0°，10°，…90°的曲线图。问题五中，雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则淋雨面为头顶与前后左右面积之和，同样将雨速分解为竖直分量u1、水平分量u2，设从上向下俯视时雨速与人速的夹角为β，此时得到淋雨量与跑步速度等参数的函数关系为关键词：降雨量，淋雨面，雨速，向量分解，淋雨量问题重述本题讨论的问题是人在雨中沿直线跑一段路程，若雨速为常数且方向不变，是否跑得越快淋雨量越少。为方便讨论，将人体简化成一个高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m的长方体，已知跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v。之后，按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，且假设降雨淋遍全身，人以最大速度vm跑完全程，此时估计总淋雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为θ，建立总淋雨量W与速度v及参数a，b，c，d，u，w，θ之间的关系，问速度v多大时，总降雨量最少。并计算θ=0，θ=30。时的总淋雨量。（3）雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为α，建立总淋雨量W与速度v及参数a，b，c，d，u，w，α之间的关系，问速度v多大时，总降雨量最少。并计算α=30。时的总淋雨量。（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对问题（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。模型假设1.雨速为常数且方向不变。2.假设人体为一长宽高已知的长方体。3.降雨量定义为雨速方向与淋雨面垂直时，单位时间内在单位淋雨面聚积的雨水深度。符号说明：a人体高度b人体宽度c人体厚度d跑步距离v跑步速度vm最大跑步速度u雨速u1雨速的竖直分量u2雨速的水平分量w降雨量W总淋雨量θ雨从迎面吹来时与人体的夹角α雨从背面吹来时与人体的夹角β俯视图中雨速与人速的夹角w1降雨量的竖直分量w2降雨量的水平分量模型建立及求解本题讨论的的问题是人在雨中沿直线跑一段路程，若雨速为常数且方向不变，是否跑得越快淋雨量越少，即在此情况下，通过建立淋雨量与跑步速度、雨速、降雨量、跑步距离等相关参数的函数关系，进而进行淋雨量与跑步速度关系的分析。需要明确的有降雨量的定义，淋雨量的定义以及不同雨速方向时的总淋雨面积。本题中降雨量指的是雨速方向与淋雨面垂直时，单位时间内在单位淋雨面聚积的雨水深度。因人体简化为如上所述的长方体，则淋雨量可视为除脚底所在的底面外长方体各淋雨表面接收雨水的体积之和。同时，由于雨速方向的不同，人在行进过程中的淋雨面并不相同。具体模型建立及求解过程如下：降雨淋遍全身即淋雨面为除脚底外另五面面积之和，则W=2ab+bc+2acwdvm≈0.0024m3因雨速不与淋雨面垂直，将雨速分解为分别与头顶、前身垂直的竖直分量u1、水平分量u2，则u1=ucosθ，u2=usinθ