高等数学教材练习答案第一章：函数与极限1.1函数概念与性质1.函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。函数可以用数学表达式来表示，常见的表示方式有解析式、图表和文字描述等。2.函数的性质（1）定义域与值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量的集合。（2）奇偶性：如果对于函数中的每个x都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；如果对于函数中的每个x都有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。（3）单调性：函数在定义域内的取值随自变量的增减而增减的特性。（4）周期性：如果存在正数T使得对于函数中的每个x都有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。1.2一元函数的极限1.极限的定义设函数f(x)在点x=a的某一去心领域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0<|x-a|<时，有δ|f(x)-L|<，那么就称函数εf(x)在x=a处极限存在，记为lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗。2.极限的运算法则（1）常数定理：lim┬(x→a)⁡c=c，其中c为常数。（2）四则运算法则：lim┬(x→a)⁡[f(x)±g(x)]=lim┬(x→a)⁡f(x)±lim┬(x→a)⁡g(x)。（3）复合函数法则：lim┬(x→a)⁡f(g(x))=lim┬(x→a)⁡f(u)。（4）乘法法则：lim┬(x→a)⁡[f(x)·g(x)]=lim┬(x→a)⁡f(x)·lim┬(x→a)⁡g(x)。第二章：导数与微分2.1函数的导数1.导数的定义设函数y=f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果极限lim┬(Δx→0)⁡[f(a+Δx)-f(a)]/Δx存在，那么就称该极限为函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)，即f'(a)=lim┬(Δx→0)⁡[f(a+Δx)-f(a)]/Δx。2.导数的几何意义函数在某点处的导数即为该点处的切线斜率。2.2导数的计算1.基本导数公式（1）常数函数的导数公式：f(x)=c，f'(x)=0，其中c为常数。（2）幂函数的导数公式：f(x)=xⁿ，f'(x)=nxⁿ⁻¹，其中n为正整数。（3）指数函数的导数公式：f(x)=aˣ，f'(x)=aˣlna，其中a为正实数且不等于1。（4）对数函数的导数公式：f(x)=log┄a⁡x，f'(x)=1/(xlna)，其中a为正实数且不等于1。（5）三角函数的导数公式：f(x)=sinx，f'(x)=cosx；，f'(x)=-sinxf(x)=cosx；，f'(x)=sec²f(x)=tanxx。第三章：微分的应用3.1微分的基本概念1.微分的定义设函数y=f(x)在点x=a处可导，那么称函数f(x)在点x=a处的导数和自变量x的增量Δx所引起的函数增量Δy之比为函数f(x)在点x=a处的微分，记作dy=f'(a)dx。2.微分的几何意义函数在某点处的微分即为该点处的切线方程，可以用来近似估计函数在该点附近的函数值。3.2微分的应用1.极值与最值（1）极值的判定：若函数在某点的导数存在且导数为零，并且在该点的导数左右两侧符号相反，则该点为函数的极值点。（2）最值的求解：根据极值点的判定，可以得到函数的最大值和最小值。2.函数的增减性与凹凸性（1）增减性的判定：若函数在某点的导数大于零，则该函数在该点附近为增函数；若函数在某点的导数小于零，则该函数在该点附近为减函数。（2）凹凸性的判定：若函数在某点的二阶导数大于零，则该函数在该点附近为凹函数；若函数在某点的二阶导数小于零，则该函数在该点附近为凸函数。总结：高等数学教材中的练习题答案主要涵盖了函数与极限、导数与微分等章节的内容。通过掌握函数概念与性质、一元函数的极限、函数的导数和微分的应用等知识，可以帮助学生更好地理解和掌握高等数学的基本概念和方法。