第一章多项式知识考点精要一、整除理论1基本概念1整除数域P上的多项式xg称为整除xf如果数域P上的多项式xq使xfxgxq成立xgxf表示xg整除xf。2最大公因式设xfxg是数域P上的多项式环xP中的两个多项式。xP中多项式xd称为xfxg的一个最大公因式如果它满足下面两个条件ixd是xfxg的公因式iixfxg的公因式全是xd的因式。以xfxg表示首项系数为1的那个最大公因式3互素xP中两个多项式xfxg称为互素的如果xfxg的最大公因式xfxg1。2基本性质1如果xfxgxgxf那么xfxcg其中c为非零常数。2如果xfxgxgxh。3如果xfxgii12…r那么xfxgxuxgxu2211…xgxurr其中xui是数域P上的任意多项式。4对于xP中任意两个多项式xgxf与其中0xgxP中一定有多项式xrxq存在使xrxgxqxf成立其中xr的次数xgxr或者xr0并且这样的xrxq使惟一确定的。5对于数域P上的任意两个多项式xgxf其中xg≠0则xfxg/的充分必要条件使的于式为零除xfxg。6对于xP中任意两个多项式xgxf与在xP存在一个最大公因式xd且xd可以表示成xgxf的一个组合即有xP中多项式xvxu使xgxvxfxuxd7xP中多项式xgxf互素的充分必要条件是有xP中多项式xvxu使1xgxvxfxu8如果xgxf1且xhxgxf/那么xhxf/。9如果//21xgxfxgxf且21xfxf1那么xfxf21xg/。二因式分解理论1基本概念1不可约多项式数域P上次数≥1的多项式xp称为数域p上的不可约多项式如果它不能表示成数域p上的两个次数比xp低的多项式的乘积。2重因式不可约多项式xp称为多项式xf的k重因式如果xfxpxfxpkk//1但。4本原多项式如果一个非零的整系数多项式0111...axaxaxaxfnnnn的系数011...aaaann互素则称xf为本原多项式。2基本性质1不可约多项式的性质i设xp是不可约多项式xf为任意多项式则1/xfxpxfxp或者。ii如果xp是不可约多项式那么对于任意的两个多项式xgxfxpxgxf/由一定可以推出xgxpxfxp//或。2因式分解定理数域P上每一个次数≥1的多项式xf都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积xpxpxpxfs...213重因式的性质i如果不可约多项式xp是xf的的k重因式1k那么它是微商xf的1k重因式。ii如果不可约多项式xp是xf的的k重因式1k那么xp是xfxfxfxfkk1...的因式但不是的因式。iii不可约多项式xp是xf的的重因式的充分必要条件为xfxfxp是的公因式。iv多项式xf没有重因子的充分必要条件是1xfxf。4复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以惟一地分解成一次因式的乘积。5实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。6有理系数多项式的性质i高斯Gauss引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式。ii如果以非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。iii艾森斯坦因Eisenstein判别法设0111...axaxaxaxfnnnn是整系数多项式。如果有一个素数P使得01nap/021...10/niapi30./02ap那么xf在有理数域上是不可约的。三根的理论1.基本概念1多项式的根如果多项式xf在0afax时的函数值那么a就称为xf的根或零点。2重根如果重因式的是kxfax那么a称为xf的k重根。当称为重根。时称为单根当时akak112.基本性质1余数定理用一次多项式afxfax这个常数等于函数值所得的余式是一个常数去除多项式。2a是xf的根的充分必要条件是xfax/。3xP中n次多项式≥0在数域P中的根不可能多于n个重根按重数计算。4如果多项式xgxf的次数不超过n而它们对n1个不同的数21aa…1na有相同的值即iiagafi12…n1那么xgxf。5设11nnnnxaxaxf…0a是一个整系数多项式而sr是它的一个有理根其中sr互素那么必有0//arasn。特别地如果1na那么xf的有理根都是整数根.典型题真题精解【例1】qpm适合什么条件时有qpxxmxx32/1解法1待定系数法如果qpxxmxx32/1则可设3qpxx12axmxx将上式右端展开再比较同次项的系数得0010amama解得12mpmq即当qpxxmxxmpmq322/11是。解法2带余除法应用除法求得商式及余式令余式为零从而得到所求的条件。12mxx3xqpx23mxxxmxqxpmx122mxmxm2mqxmp12余式为mqxmp120于是得0012m