一、不定积分部分1fxfxFxfx1.设具有可微的反函数。设是的一个原函数。试证明111fxdxxfxFfxC。x证在公式右端对求导我们有11dfxdfxd1111xfxFfxCfxxffxdxdxdx11dfxdfx11fxxxfx.dxdx,.由不定积分的定义知结论成立fxa,bacb2.设定义在上且有Fxfxaxc;Fxfxcxb;limFxA,limFxB1212xcxcxcfxfxa,b在处连续试证明在上存在原函数。若Fx证作函数如下Fx,axc,1FxA,xc,FxBA,cxb.2xcxclimFxlimFxFxfx则在处连续由在处连续知故根据导xcxcFcfcFxfxa,b函数的特征即知。因而是在上的原函数。3.试证明下列命题fx,1是上的可微函数且满足函数方程设fxyfxfy2xyx,y,2fxxf0x则a,bfafb0xCa,bfxa,b2设在上连续在内可微且。则对ff0a,b有使得。xy0f02f0f001可得。将原式改写成为证取fxyfxfy2x,y0,yy可得fxyfxfyf0fxlimlim2x2xf0y0y0yy由此知2fxdx2xf0dxxf0xC2fxfxxf0xC即的一般表达式为xFxefxxx2连续所以存在原函数记为则作。因为FxCa,ba,bFaFb0依题设易知且在可微。又。由洛尔中值定理知a,b存在使得Feff0ff0。fx,???4.设在上可导若有fyfxxyfxy2yx2fxaxbxc试证明y,xxy,xy证以替换可得f(xy)f(xy)fx。2yx在上式两端对求导我们有yfxyfxyfxyfxy0y再对求导我们有fxyfxyyfxyfxyfxyfxy0fxyfxyf2xf0,