装订线2013学年第一学期高等代数Ⅰ(A卷)一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.下列关于多项式理论的说法中正确的是(C).A.零多项式整除任意多项式B.零多项式不整除零多项式C.零多项式只能整除零多项式D.零多项式的次数为零分析：任意多项式整除零多项式；零多项式只能整除零多项式；零多项式是唯一不定义次数的多项式2.设有维向量组（I）：和（II）：，则(C).A.向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性无关B.向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性相关C.向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性相关D.向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性无关分析：部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关3.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是(B).A.的列向量线性相关B.的列向量线性无关C.的行向量线性相关D.的行向量线性无关分析：齐次线性方程组仅有零4.设为级方阵，，且，则有().A.或B.C.D.分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即，5.设和都是级实对称矩阵,通过非退化线性替换能将实二次型化为实二次型的充分必要条件是(D).A.与具有相同的秩B.与具有相同的符号差C.与具有相同的正惯性指数D.与具有相同的负惯性指数,并且A与B具有相同的符号差分析：非退化线性变换保证二次型的矩阵合同，即A与B合同，在实数域上相当于二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设四级行列式的第四列元素分别为，且它们对应的余子式分别为，则=__________.注意：行列式按本行（列）展开的值为，串行（列）展开的值为“0”内容见课本78页定理3.，展开需用代数余子式。2.设向量组线性相关，则注意：这时，即3.设为级方阵,且满足,这里表示级单位矩阵,那么分析：4.已知矩阵方程,则＝.分析：5.若是正定二次型，则的取值范围.1.5CM三、判别题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为正确的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1.（√）有理数域为最小的数域.2.（）设是两个级方阵，则.注意：行列式只有乘积公式，无所谓的加法，减法公式3.（）若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.注意：两个向量组A,B等价4.（）若矩阵的所有级子式全为零，则的秩为.注意：的秩为至少有一个级子式不为零，所有级子式全为零5.（√）合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性.得分1.5CM四、解答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1.设求.解用辗转相除法，得（6分）所以，.（7分）2.计算行列式.解：行列式特点：每一行的和相等为，（2分）（5分）.（7分）3.求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.解将向量按列排成矩阵，并对它作等行变换化为行最简形矩阵.最简形（4分）所以,，是所求的一个极大无关组，（6分）且.（7分）4.讨论取何值时，线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解，并求出此方程组的通解.解对增广矩阵作行变换化为阶梯形.阶梯形（2分）(1)当且时，方程组有唯一解；(2)当时，，方程组无解;(3)当时，方程组有无穷多个解.（5分）此时最简型，得一般解(为自由未知量)，令得通解为为任意常数.（7分）注意：此题和12年四（3），11年四（3）为同类型题。13年和11年答案是同一种做法；12年是一种做法。5.作非退化线性替换化实二次型为规范形.解二次型的矩阵为(1)分令，作非退化线性变换，（6分）得所求实二次型的规范形为.（7分）说明：一步到位化二次型为规范形的步骤：A作行变换，接着”A和E”作相同的列变换，当A化为对角元为“1，-1”的对角阵时，E化为“C”此法比同时作行列变换正确率高！推荐！1.5CM五、证明题（本大题共4小题，共25分）1.（（本小题7分）证明：维向量组线性无关的充要条件是任一维向量都可由线性表出.证明必要性.设线性无关，对任一维向量，因为是个维向量，必线性相关，而是线性无关的，故可由线性表出.（4分）充分性.设任一维向量都可由线性表出，则单位向量组可由线性表出，又可由线性表出，所以向量组与向量组等价，故有相同的秩，即线性无关.（7分）2.（本小题6分）设是级方阵且，证明：存在一个非零矩阵使得.证明：由知，齐次线性方程组有非零解，（2分）作,其中均为零向量,则，（4分）于是（6分）3.（本小题6分）设是级方阵且，是矩阵，证明:.证明因为，（2分）又由知，方阵可逆.所以，从而，综