小孔流水的高度与时间的关系朱清清周丽娟刘宏伟摘要本文通过对小孔流水高度与时间的关系的分析，利用微分方程，建立了一个明确、完整的数学模型。首先，考虑水流流量与流速和流通面积有关，根据流体力学原理得到伯努利定律即流量公式。其次，假设短时间内，水面高度变化不大，采用微元的思想得到对应下降的体积，很好的解决了流量Q与水面高度h、时间t之间的关系。再次，根据流量公式和下降体积的等式，利用matlab软件求解得到微分方程的解。最后，我们对模型的科学性和现实性进行了阐述，并分析得出随着时间的推移，水深不断减少，压强也不断降低，但并非是反比关系。关键字微分方程半球容器伯努利定律1问题的提出盛满水的半球形容器高为100cm，底部有一横截面积为1cm的小孔，求水从小孔流出过程中容器里水面高度随时间的变化。2模型假设2.1假设容器壁体积极小忽略不计；2.2小孔截面视为圆形，水流时摩擦阻力计；2.3附着于容器内壁的水极少，这部份水的体积计入流量中；2.4小孔面积的大小在实验过程中不受外界的影响3符号说明Q:水从孔口流出的水流流量；u:水流流量系数常量u=0.62；s:半球形容器底面小孔的横截面积s=1cm;H:半球形容器水面起始高度H=100cm;h:半球形容器内水的高度；g:重力加速度g=9.8m/s;t:水流出的时间；r:容器中水面的半径；v:半球形容器中水的体积。4模型建立问题的分析、建模与求解由流体力学知道,水从孔口流出的流量Q可用下列公式表示：其中0.62为流量系数，s为孔口横截面面积，g为重力加速度。孔口横截面面积为s=1cm，故：另一方面,设在微小时间间隔内,水面高度由h降至，则又可得到，其中r是时刻t的水面半径,右端置负号是由于而的缘故。又因为，，所以，。通过比较得到：，这就是未知函数h=h(t)应满足的微分方程。此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数h=h(t)还应满足下列初始条件:。将方程分离变量后得.两端积分,得,即,其中C是任意常数。由初始条件得,.因此，.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系。5模型评价在解决下降的体积的时候，由于水平有限，无法根据最初设想的来求出体积，因此采取了模拟近似法，在一定的假设下，做出一定的简化，根据给出实际现象所满足的规律，利用恰当的数学方法列出微分方程。模型还是比较粗糙，略去了一些情况，比如流速与压强有关，由于数据不足无法进行讨论研究。最后要把模型的理论或者计算结果与实际情况进行对照检验，以修改模型使之更准确地描述实际问题，因此具备合理性和科学性。6参考文献[1]《数学模型》（第三版）姜启源编著高等教育出版社[2]《MATLAB基础与应用教程》蔡旭晖编著高等教育出版社[3]《微积分》李辉来编著清华大学出版社