数学(shùxué)发展的五个时期数学(shùxué)的萌芽时期（至公元前六、五世纪）初等数学时期(shíqī)第一个时期(shíqī)：从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪第一次数学(shùxué)危机第一章微积分的基础(jīchǔ)和研究对象§1微积分的基础(jīchǔ)－集合、实数和极限b.英国(yīnɡɡuó)数学家牛顿（Newton,1642---1727）和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646---1716)分别独立地建立了微积分。c.牛顿(niúdùn)、莱布尼茨对微积分的主要贡献（2）微积分的特点与以往的数学相比：微积分的突出特点是可以研究不断变化的事物现象——运动，是变量(biànliàng)数学的标志。（4）微积分存在(cúnzài)的问题第二次数学危机无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾.牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替.但是，他始终无法解决上述矛盾.莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁.英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”.很显然，贝克莱抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，尽管他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求(zhuīqiú)和探索，事实上大大地促进了数学发展.罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集.”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象.19世纪初，法国数学家柯西建立了严格的极限理论，后来(hòulái)德国数学家魏尔斯特拉斯等加以完善，从而形成了严密的实数理论。由此把微积分的无矛盾性问题归结为实数系统的无矛盾问题。对象：函数内容：微分、积分，以及连接微分与积分的桥梁(qiáoliáng)——微积分基本定理。工具：极限函数：物质世界的基本模型世界是物质的，物质是运动的，运动是相互联系的。这种相互联系的物质运动大都可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系为基本特征的数学模型——函数。数学模型是人类认识与改造(gǎizào)世界的一个基本手段。有些事物的变化是离散的比如：随着时间的推移，中国奥运金牌的数量；随着时间的推移，母鸡下蛋的数量；随着重量的增加，邮局邮寄(yóujì)包裹的价格；随着路程的增大，乘坐出租车的费用；……0有些事物的变化则是连续的比如：随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度的变化；人的动作；随着时间的推移，某地气温的变化；随着半径(bànjìng)的增大，圆盘面积的变化；随着气压的增高，水的沸点的变化；……0常值函数；幂函数与根式函数；三角函数与反三角函数；指数函数(zhǐshùhánshù)与对数函数通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函数及其反函数。……也有更多的不能具体通过代数式表示、但却具有实际意义的函数，以及一般(yībān)的抽象函数。微积分：研究连续性变化连续性变化的情况涉及到每一个瞬间，涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况，人类是无法精确捕捉到的。如何研究？动画片如何表现连续动作(dòngzuò)？切片！很短时间内的一种静止画面。“微小的差异(chāyì)”是微分积分的奥秘！观察某一微小变化=微分连接一系列微小变化=积分微分：函数(hánshù)的局部性质函数(hánshù)表示的是因变量依赖于自变量的变化关系，函数(hánshù)值反映的是变化结果，但不能反映变化速度。函数(hánshù)的微分刻画的正是函数(hánshù)的瞬时变化速度。平均速度VS瞬时速度积分：函数的整体性质一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度，从而会行走一段距离；但是在一定时间内，速度可能在变，如何知道变速运动在一定时间内的运行路程，这就是(jiùshì)积分问题。积分问题是研究函数的整体变化性质。对于一个给定函数(hánshù)来说，局部与整体是一个事物的两个方面，二者是对立的统一。因此，微分与积分具有密切关系，积分问题是由函数(hánshù)的局部性质研究整体性质。建立二者关系的桥梁是微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。极限：人类认识无限的必要手段由于生理的原因，人类只能看到有限时间、有限范围内的事物(shìwù)；只能判断、测量在一定时间段内事物(shìwù)的变化量与平均变化速度。要认识无限变化的事物(shìwù)，要确定事物(shìwù)瞬时变化的情况等，极限是一个有效工具。平均速