高二数学竞赛综合练习题（7）班级学号姓名1．以表示集合的元素个数.若有限集合满足，，，则的最大可能值为.2．设是正实数.若的最小值为10，则.3．已知实系数多项式满足，，，则的所有可能值集合为.4．设展开式.若，则.第5题第6题5．在如图所示的长方体中，设是矩形的中心，线段交平面于点.若，，，则.6．平面上一个半径的动圆沿边长的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为.7．设直角坐标平面上的点与复数一一对应.若点分别对应复数（），则直线与轴的交点对应复数（用表示）.8．设n是大于4的偶数.随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为.9.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点.10.如图，设,分别为的外心、内心，且，＞，的外角平分线交⊙于，已知,则_____________.ABCDOIEF11．已知正整数都是合数，并且两两互素，求证：.12．设（是实数），当时，.求的最大可能值.13．设点，在双曲线的左支上，，直线交双曲线的右支于点.求证：直线与的交点在直线上.14.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,…,A10满足:(1)|Ai|=36,i=1,2,…,10;(2)A1∪A2∪…∪A10=A;(3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由.练习7解答1.10.2.2.3.{32}.4.2413.5..6..7..8..9.解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.10解:连接并延长交⊙于,则为弧的中点.连、、、，由，易知、均为正三角形.由内心的性质得知：,所以、、、四点共圆,且圆心为.再延长交⊙于,由题设知、、共线，于是,又,从而≌,故.11．设的最小素因子，因为不是素数，所以.于是12．由可知满足题设，的最大可能值为.13．设，直线的方程，则，所以，①，所以。把①代入上式，得.14解：考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有个,每个作为集合A的一个元素.对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有个,它们是集合Aj的36个元素.对每对i,j∈{1,2,…,10}(i<j),第i项与第j项均为1的0,1数列恰有个,它们是Ai∩Aj的元素.综上知,存在满足条件的10个子集.