解析几何中减少计算量的常用方法湖南周友良彭文英在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。一.充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。例1.已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆，即为以A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，其方程为评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。例2.已知点P（5，0）和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。解：点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，，即，所以所求的轨迹方程为评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。例3.求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。解：因圆心在直线上，故可设圆心又圆与轴相切，，此时可设圆方程为（运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。）又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。弦心距，解得当时，，圆方程为当时，，圆方程为评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。例4.设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。解：圆过原点，并且，是圆的直径，圆心的坐标为又在直线上，即为所求。评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。例5.已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。由方程组消去后得由，得（1）又P、Q在直线上，把（1）代入，得，即化简后，得（4）由，得把（2）代入，得，解得或代入（4）后，解得或由，得。所求椭圆方程为评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。例6.若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则解：设A（），B（）则M（）又A、B分别在上，则有由得，即，评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。三.充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。例7.求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：即，其圆心为C（）又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。四．与中点弦有关的问题用“坐标代入法”即“坐标解析法”减少运算量。具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例7.(中点弦问题)已知双曲线x2－2y2＝4。求以P(4，1)为中点的双曲线的弦AB所在的直线的方程。解法一：(设斜率k，求交点)设过点P的弦AB的方程为：y－1＝k(x－4)代入－＝1得(1－2k2)x2＋4k(4k－1)x－32k2＋16k－6＝0①又P为AB之中点＝4解得k＝2故AB所在的直线方程为：2x－y－7＝0解法二：(设而不求)设A(x1，y1)，B(x２，y２)则由A、B两点都在双曲线上，有－＝①－＝1②②－①得＝0由于P是AB之中点∴＝4＝1代入上式得kAB＝＝2∴AB所在直线的方程为2x－y－7＝0解法三：(设而不求)设A(x1，y1)∵AB的中点是(4，1)∴B(8－x1，2－y1)∵AB都在双曲线上(1)－(2)得：16x1－8y1－56＝0→2x－y－7＝0解法四：（参数方程法）设AB所在的直线方程为：代入椭圆方程并整理得∵P(4,1)为弦的中点，∴即即k=2故AB所在的直线方程为：2x-y-7=0例8、定长为3的线段