平面向量中的数学思想方法河北高志彬平面向量是中学数学的重要内容，也是近年来高考命题的热点，因此我们应给予足够的重视，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以适应高考对平面向量的要求，现归纳总结如下：一、数形结合思想例１一架飞机向北飞行100千米，然后改变方向向西飞行100千米，求飞机飞行的路程及两次位移的和．说明：本题主要是考察向量加法与实数加法的区别，路程为距离问题，直接相加即可；位移为向量加法，应按向量知识解决．区别向量、数量是解决本题的关键．解：如图１，飞机飞行的路程为：（千米）；位移为：（千米）．二、函数与方程思想已知点是内一点，，，设，，，且，试用和表示．说明：本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量．根据平面向量的基本定理有，当的坐标已知时，该式实际上是一个关于的二元一次方程组，由此可确定，这是解决本题的一个重要思想，同时也有助于我们理解平面向量的基本定理．解：如图2所示，以点为原点，为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得，即．又知，．设，从而有，解得．三、转化与化归思想转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法，以向量为工具，通过转化，可以为平面几何中的许多问题提供新颖、简捷的解法．例3求证：如果四边形都是平行四边形（所有四边形的顶点按同一方向排列），那么四边形也是平行四边形．说明：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，抓住平行四边形的特征———“对边平行且相等”进行转化，此题即可迎刃而解．证明：由得，由得，由得，由得，由得，所以，即四边形是平行四边形．四、分类讨论思想例4已知向量的模长分别是，求的最大值和最小值．说明：平面向量问题中含有向量方向相同，相反及不共线的问题是分类讨论的一大亮点，遇到这类问题利用分类讨论的思想不可忽视．解：向量的模已确定，但方向不定，因此应分情况讨论的方向，作，，．（1）当不共线时，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得，即．（2）当向量共线时，要分同向与反向两种情况．若向量同向，则，即．若向量方向相反，则，即．故的最大值为10，最小值为2．