第十半群与群例如:⊕为模n加法。半群得子代数叫做子半群,独异点得子代数叫子独异点。例11、2设半群,独异点,其中例11、2设半群,独异点,其中例11、2设半群,独异点,其中例11、2设下面考虑半群与独异点得同态映射,简称同态。例9、11/P177、(1)设例9、11/P177、(2)设12特别地,例9、11/P177、(3)设例9、12/P177、设例11、2设半群,事实上,对任意得再考虑独异点得同态映射。例11、2设独异点,因§11、2群得定义及性质则称就是一个群。例11、3(四元数群)设G=｛a,b,c,e｝,为上得二元运算。例11、3(四元数群)设G=｛a,b,c,e｝,为上得二元运算。例11、3(四元数群)设G=｛a,b,c,e｝,为上得二元运算。例11、3(四元数群)设G=｛a,b,c,e｝,为上得二元运算。定义11、5(1)若群就是有穷集,则称就是有限群。群所含元素得个数称为群得阶。记(2)只含单位元得群称为平凡群。定义11、6设就是群,,,则a得n次幂定义为定义11、7设就是群,,使得等式定义11、7设就是群,,使得等式(2)下面得定理给出了群得一些重要得性质。下面得定理给出了群得一些重要得性质。下面得定理给出了群得一些重要得性质。下面得定理给出了群得一些重要得性质。下面得定理给出了群得一些重要得性质。下面得定理给出了群得一些重要得性质。例11、5设群,其中为该集合得对称差运算。解下列方程:由由定理11、3为群,则中适合消去律,即对任意得例11、7为群,且例11、8为n阶群,令群得性质补充3)设习题17/P229:在群中,幺元e就是唯一得幂等元。例:设就是群,对定理:对得群不可能有零元。§11、3子群对任何群G都存在子群。G与｛e｝都就是G得子群,称为G得平凡子群。定理11、5(判定定理一)设G为群,H就是G得非空子集。H就是G得子群当且仅当下面得条件成立:(1)有(2)有。定理11、6(判定定理二)设G为群,H就是G得非空子集,则H就是G得子群当且仅当定理11、6(判定定理二)设G为群,H就是G得非空子集,则H就是G得子群当且仅当定理11、7(判定定理三)设G为群,H就是G得非空子集。如果H就是有穷集,则H就是G得子群当且仅当(2)若,则令(2)若,则令下面就是一些重要得实例。例如:整数加群,由2生成得子群就是3对于Klein四元数群则C就是G得子群,称为G得中心。事实上:例11、14设G就是群,H,K就是G得子群。证明§11、6群得同态与同构例11、23(1)就是整数加群,就是模n得整数加群。令例11、23(2)就是实数加群,就是非零实数关于普通乘法构成得群。令例11、23(3),就是群,令定义11、12设就是群到得同态。若,则称φ就是群得自同态。例:证明群与同构。23/P230设H就是G得子群,,令22/P230设为群,就是中给定元素,得正规化子22/P230设为群,就是中给定元素,得正规化子22/P230设为群,就是中给定元素,得正规化子23/P231:对于以下各小题给定得群与,以及(1),,其中为非零实数得集合,＋与·分别为数得加法与乘法。所以,就是到得同态。(2),,其中＋与·分别为数得加法与乘法。证明:所以,就是到得同态。则有(2),,其中＋与·分别为数得加法与乘法。23/P231:对于以下各小题给定得群与,以及