北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）2013.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，，那么（A）（B）（C）（D）2．复数（A）（B）（C）（D）3．执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角（A）（B）（C）（D）4．设等比数列的公比为，前项和为，且．若，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（A）（B）（C）（D）6．设实数，满足条件则的最大值是（A）（B）（C）（D）7．已知函数，则“”是“，使”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8．如图，正方体中，是棱的中点，动点在底面内，且，则点运动形成的图形是（A）线段（B）圆弧（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量，．若向量与垂直，则实数______．10．已知函数则______．11．抛物线的准线方程是______；该抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，则______．12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件的长度数据(单位：)全部介于至之间．将长度数据以为组距分成以下组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是_____．13．在△中，内角，，的对边边长分别为，，，且．若，则△的面积是______．14．已知数列的各项均为正整数，其前项和为．若且，则______；______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数的一个零点是．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设，求的单调递增区间．16．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四面体的体积；（Ⅲ）线段上是否存在点，使//平面？证明你的结论．17．（本小题满分13分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．（Ⅰ）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲停车付费恰为元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数，，其中．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．（Ⅰ）若点的横坐标为，求直线的斜率；（Ⅱ）记△的面积为，△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．20．（本小题满分13分）已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（Ⅰ）当时，设，，求；（Ⅱ）证明：若，且，使，则；（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．A；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．；14．，．注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得，………………1分即，………………3分解得．………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．………………6分………………8分．………………10分由，得，．………………12分所以的单调递增区间为，．………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在△中，因为，，，所以．………………2分又因为，所以平面．………………4分（Ⅱ）解：因为平面，所以．因为，所以平面．………………6分在等腰梯形中可得，所以．所以△的面积为．………………7分所以四面体的体积为