CourseChap4控制系统的稳定性分析自动控制原理I稳定性分析的意义稳定性是控制系统能够正常工作的首要条件。Instructor:李世华SchoolofAutomation稳定压倒一切。Southeastuniversity只有稳定的情况下，性能分析和改进才有意义。负反馈只是使系统稳定的一种手段，并不一定能够保证闭环系统的稳定。例子：带大惯性和时滞的系统Anycomments,pleasefeelfreetocontactme(中心楼608,E-mail:lsh@seu.edu.cn,Tel.:83793785(o))Chap4控制系统的稳定性分析4.1稳定性的概念和定义4.1稳定性(stability)的概念和定义若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，随d着时间的推移，偏差会逐渐衰减并趋于零，具有f恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定(stable)的；否则，称该系统是不稳定bc(unstable)的。a平衡点bc单/多平衡点系统可通过研究描述系统的微分或差分方程的解得到系统干扰，偏差稳定性。稳定的物理意义稳定范围/区域a维持平衡的能力4.1稳定性的概念和定义Chap4控制系统的稳定性分析李亚普诺夫(Lyapunov,1892)稳定性4.2线性系统稳定的充分必要条件4.2.1状态空间模型x=x(t)4.2.2输入输出模型x&()t=F[]x()t,tx&c()t=F[]xc()t,t=000若讨论稳定性是基于I/O模型的，则只关心输出值在输入消失后Lyapunovstability是否收敛到有限值－输入输出稳定性(I/Ostability)不同于：状态空间模型/Lyapunovstability∀ε>0,∃δ>0,ifx0−xc<δthenx(t)−xc<ε一个连续LTI系统I/O稳定的充要条件nLyapunovasymptoticstability2它的微分方程描述的特征方程的根全都具有负实部x−xc=∑()xi−xici=1或：它的传递函数的极点都位于复平面的左半部limx(t)−xc=0Ifinaddition,t→∞如果特征方程在复平面的右半部没有根，但在虚轴上有根且该根非重根，则称系统是I/O临界稳定的。(Note:工程上不存在！)14.2线性系统稳定的充分必要条件Chap4控制系统的稳定性分析y(k)−5y(k−1)+6y(k−2)=u(k),k≥04.2.3离散控制系统4.3系统稳定性的代数判据y(k)=0.5−2k+1+1.5×3k,k≥0一个离散LTI系统I/O稳定的充要条件：它的脉冲传递函数的特征根(即脉冲传递函数的极点)全部在Z平对象：微分/差分方程描述对象(I/O模型)→I/O稳定性面以原点为中心的单位圆内意义：定量求解(难)→定性求解(判据)脉冲传递函数的极点除了在单位圆内，还有在单位圆上的极点且该根非重根，则称系统是I/O临界稳定的。特点：根据特征方程各项系数确定特征根的(复平面)位置s平面z平面4.3.1连续系统稳定性的代数判据及其应用01劳斯（Routh，1877）判据0霍尔维茨（Hurwitz，1895）判据z=eTs,s=σ+jωz=eTσ,∠z=Tω通常合称为劳斯－霍尔维茨判据左/右平面，虚轴→?4.3系统稳定性的代数判据Routh判据一、Routh判据32nn−1a3s+a2s+a1s+a0=0ans+an−1s+L+a1s+a0=0,(an>0)n线性系统稳定↔sanan−2an−4L3a3a1n−1特征方程的全部系数均ssan-1an−3an−5L为正数，并且由特征方2n−2bbba2a0s123L程系数组成的Routh阵的sn−3aa−aasc1c2c3L第一列的元素全为11203n−40sddds123L正数.a02MM不稳定根的个数＝s2eea0s12Routh第一列元素变符a3,a2,a1,a0>01sf1号次数a1a2>a0a30sg1=e2=a0要求：判稳，不稳根数目，虚轴根情况4.3系统稳定性的代数判据4.3系统稳定性的代数判据二、特殊情况二、特殊情况1、劳斯阵某一行第一个元素为零，而其余元素不全为零1、劳斯阵某一行第一个元素为零，而其余元素不全为零方法a：则可以用一个很小的正数代替它，而继续按上述公式方法b：用(s+a),a>0去乘D(s)得E(s)，Routh判据求E(s)。计算下一行的项。计算结果如果是第一列（即）的上项和下项符号相反，则计作一次符号变化。(s3−3s+2)(s+3)=s4+3s3−3s2−7s+6=0s3−3s+2