一、Z变换的基本性质和定理1、线性若Z[x(n)]=X(z)Rx?<z<Rx+Z[y(n)]=Y(z)Ry?<z<Ry+则Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)a，b为任意常数max(Rx?,Ry?)=R?<z<R+=min(Rx+,Ry+)收敛域为两者重叠部分收敛域为两者重叠部分重叠1求其z变换。例：已知x(n)=cos(ω0n)u(n),求其z变换。1jω0n?jω0nQ]u(n)解：cos(ω0n)u(n)=[e+e21nZ[au(n)]=,z>a?11?az1jω0njω0∴Z[eu(n)]=,z>e=1jω0?11?ez1?jω0n?jω0,z>e=1Z[eu(n)]=?jω0?11?ez111因此，Z[cos(ω0n)u(n)]=[+],z>1jω0?1?jω0?121?ez1?ez22.序列的移位则有：如果Z[x(n)]=X(z),Rx?<z<Rx+则有：Z[x(n?m)]=zX(z);Rx?<z<Rx+例:(n)=u(n)-u(n-3)的变换。求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。zQZ[u(n)]=z>1z?1zz?2?3Z[u(n?3)]=z=z>1z?1z?1?22zzz+z+1∴Z[x(n)]=?=z>02z?1z?1z3?m3.乘以指数序列域尺度变换)3.乘以指数序列(Z域尺度变换)域尺度变换若Z[x(n)]=X(z),Rx?<z<Rx+z则Z[ax(n)]=X();anaRx?<z<aRx+?n证明：Z[anx(n)]=证明：∞n=?∞∑ax(n)zn∞z?nz=∑x(n)()=X()aan=?∞zRx?<<Rx+?aRx?<z<aRx+a4序列的线性加权(域求导数)4.序列的线性加权(Z域求导数)若Z[x(n)]=X(z),Rx?<z<Rx+d则Z[nx(n)]=?zX(z),Rx?<z<Rx+dz证明：(z)=证明：Xn=?∞x(n)z?n∑∞∞∞dX(z)dd?n=[∑x(n)z]=∑x(n)(z?n)dzdzn=?∞dzn=?∞=n=?∞∑?nx(n)z∞1?n?=?z1?n=?∞nx(n)z?n∑∞∴Z[nx(n)]=?zdX(z)dz55.共轭序列若Z[x(n)]=X(z),Rx?<z<Rx+则Z[x*(n)]=X*(z*)，x?<z<Rx+R证明：Z[x*(n)]=证明：∞n=?∞x*(n)z?n=∑*?n***∞n=?∞[x(n)(z*)?n]*∑∞=[∑x(n)(z)]=X(z)，x?<z<Rx+Rn=?∞66.翻褶序列若Z[x(n)]=X(z)则Z[x(?n)]=X(1)z证明：Z[x(?n)]=证明：∞∞Rx?<z<Rx+11<z<Rx?Rx+n=?∞n=?∞x(?n)z?n=∑?1?nx(n)zn∑∞1=∑x(n)(z)=X()zn=?∞11?1Rx?<z<Rx+?<z<Rx+Rx?77.初值定理对因序x(n)，于果列有limX(z)=x(0)z→∞证：因为x(n)为因果序列因为为因果序列∴X(z)=n=?∞x(n)z?n=∑x(n)z?n∑n=0∞∞=x(0)+x(1)z+x(2)z+K∴limX(z)=x(0)z→∞?1?22z?1+2z?2,,求x(0)例：n<0时x(n)=0的右边序列X(Z)=?1?23?z+z88.终值定理设x(n)为因果序列，且X(z)=Z[x(n)]的极点处于x(n)为因果序列，X(z)=Z[x(n)]的极点处于为因果序列单位惨阅?单位圆上最多在z=1处可有一阶极点)z=1处可有一阶极点单位圆以内(单位圆上最多在z=1处可有一阶极点)则limx(n)=lim[(z?1)X(z)]n→∞z→1n→∞z→1x(∞)=limx(n)=lim[(z?1)X(z)]=Res[X(z)]z=1例：X(Z)=1,收敛域是|z|>0.9,求初值和终值?11?0.9z9证：利用序列的移位，得Z[x(n+1)?x(n)]=(z?1)X(z)=∞n=?∞[x(n+1)?x(n)]z?n=∑[x(n+1)?x(n)]z?n∑n=?1n∞