PAGE-10-2.2.1综合法和分析法明目标、知重点1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．思考2综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝eq\f(π,3)，③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f(π,3)，所以△ABC为等边三角形．反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．跟踪训练1在△ABC中，eq\f(AC,AB)＝eq\f(cosB,cosC)，证明：B＝C.证明在△ABC中，由正弦定理及已知得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(cosB,cosC).于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π<B－C<π，从而B－C＝0，所以B＝C.探究点二分析法思考1回顾一下：基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)是怎样证明的？答要证eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，只需证a＋b≥2eq\r(ab)，只需证a＋b－2eq\r(ab)≥0，只需证(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，因为(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0显然成立，所以原不等式成立．思考2证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件．小结分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例2求证：eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5).证明因为eq\r(3)＋eq\r(7)和2eq\r(5)都是正数，所以要证eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)，只需证(eq\r(3)＋eq\r(7))2<(2eq\r(5))2，展开得10＋2eq\r(21)<20，只需证eq\r(21)<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以eq\r(3)＋e