量子群与形变预投射代数的表示的开题报告摘要：量子群和形变预投射代数是一类研究非交换几何和代数性质的代数结构，而它们的表示论则是非交换代数中最活跃的领域之一。本文主要介绍量子群和形变预投射代数的基本定义和性质，重点关注它们的表示理论，包括它们的有限维表示和无限维表示，以及它们与经典代数中表示理论的比较和联系。此外，还将探讨量子群和形变预投射代数表示论研究中的一些重要问题和未来的研究方向。关键词：量子群；形变预投射代数；表示论；有限维表示；无限维表示1.引言量子群和形变预投射代数是最早在非交换几何和代数学中发现的代数结构之一。量子群最早由Jimbo在1985年定义，它是一种非交换拓扑群，自此以后，量子群在Lie群和李代数等领域的研究中发挥了重要作用。而形变预投射代数则是更广泛的非交换代数结构之一，自Schauenburg在1999年定义以来，它在代数学中也引起了广泛关注。量子群和形变预投射代数都具有很强的代数性质，例如拓扑群的连续性、李代数的Lie映射等性质，而它们的表示论则是非交换代数中最活跃的领域之一。本文将对量子群和形变预投射代数的定义、性质以及表示理论进行介绍和探讨，包括它们的有限维表示和无限维表示，以及它们与经典代数中表示理论的比较和联系。此外，还将探讨量子群和形变预投射代数表示论研究中的一些重要问题和未来的研究方向。2.量子群的基本定义和性质量子群最早由Jimbo在1985年定义，它是一种非交换拓扑群，具有特殊的Hopf代数结构。其基本定义如下：定义2.1：量子群$G_q$是一个非交换拓扑群，在它上面定义了结构常数具有$q$-变形的$R$-矩阵（或叫Yang-Baxter矩阵），并且它同时也是一个Hopf代数。量子群的主要性质有以下几个方面：（1）$R$-矩阵的$q$-变形性质。（2）量子群与经典Lie群的关系。（3）量子群是Hopf代数。（4）量子群上有特殊的微分结构，使得它可以通过微分形式上的计算表现出一些不同寻常的性质。3.量子群的表示论量子群的表示论是非常活跃的研究领域之一，它的重点是关于量子群的有限维表示和无限维表示的研究。目前已经有许多关于量子群表示理论的研究成果，例如Lusztig分拣定理、Drinfeld的凸向量层、Kazhdan-Lusztig偏序、Weyl群的Crystals等等。3.1量子群的有限维表示量子群的有限维表示是在某个有限维矢量空间上的线性表示，它主要有以下几个方面特征：（1）有限维表示不是完全可约的。（2）有限维表示中存在多个简化子代数。（3）有限维表示中存在多个基础域。3.2量子群的无限维表示量子群的无限维表示是在某个无限维矢量空间上的线性表示，它主要有以下几个方面特征：（1）无限维表示是完全可约的。（2）无限维表示的底空间是一个Hilbert空间。（3）无限维表示构成一个表示范畴。4.形变预投射代数的基本定义和性质形变预投射代数是非交换代数中另一种重要的代数结构，它和量子群具有类似性质，但又有自己的独特性质。它的基本定义如下：定义4.1：形变预投射代数是一个具有非交换乘法和非交换预投影的代数，在预投影条件下它满足一些特定的代数性质。形变预投射代数的主要性质有以下几个方面：（1）形变预投射代数是一个点系，即是一类群对象的多项式环。（2）形变预投射代数的表示范畴是丰富而多样的。（3）形变预投射代数是一种特殊的超对称代数。5.形变预投射代数的表示论形变预投射代数的表示论是一个广泛而丰富的研究领域，它的主要集中在如下几个方面：（1）有限维表示和无限维表示。（2）分数指标和无穷级数指标。（3）表示的分类与结构定理。（4）与Lie代数和量子群表示论的比较和联系。6.研究现状与未来发展目前关于量子群和形变预投射代数表示论的研究正在发展中，已经取得了许多重要进展。然而，仍有许多问题有待解决，例如：（1）量子群和形变预投射代数的表示分类问题。（2）表示的结构定理和符号计算问题。（3）与数学物理和统计物理问题的联系和应用。未来的研究方向应该主要集中在此类重要问题的解决上，同时也应该探索中量子群和形变预投射代数表示论在数学和物理中的更广泛的应用和意义。