专练(二)技法5构造法1．m，n∈(2，e)，且eq\f(1,n2)－eq\f(1,m2)<lneq\f(m,n)，那么()A．m>nB．m<nC．m>2＋eq\f(1,n)D．m，n的大小关系不确定答案：A解析：由不等式可得eq\f(1,n2)－eq\f(1,m2)<lnm－lnn，即eq\f(1,n2)＋lnn<eq\f(1,m2)＋lnm.设f(x)＝eq\f(1,x2)＋lnx(x∈(2，e))，那么f′(x)＝－eq\f(2,x3)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x2－2,x3).因为x∈(2，e)，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)<f(m)，所以n<m.应选A.2．f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，那么不等式x2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－f(x)>0的解集为________．答案：(1，＋∞)解析：设g(x)＝eq\f(fx,x)，那么g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)，又因为f(x)>xf′(x)，所以g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g(x)＝eq\f(fx,x)为(0，＋∞)上的减函数，又因为x2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－f(x)>0⇔eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))),\f(1,x))>eq\f(fx,x)⇔geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))>g(x)，那么有eq\f(1,x)<x，解得x>1.3．设数列{an}的前n项和为Sn.假设S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，那么a1＝________，S5＝________.答案：1121解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))是公比为3的等比数列，∴eq\f(S2＋\f(1,2),S1＋\f(1,2))＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S1＋\f(1,2)))×34＝eq\f(3,2)×34＝eq\f(243,2)，∴S5＝121.4．如图，球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，那么球O的体积等于________．答案：eq\r(6)π解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，那么正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的体积V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.技法6等价转化法5．设x∈R，假设“1≤x≤3”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是()A．(1,3)B．[1,3)C．(1,3]D．[1,3]答案：A解析：由|x－a|<2，解得a－2<x<a＋2.因为“1≤x≤3”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，所以[1,3](a－2，a＋2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<1，,a＋2>3，))解得1<a<3，所以实数a的取值范围是(1,3)．应选A.6．[2022·兰州市诊断考试]函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，假设对于x∈[1,2]，f(ax2)<f(3)恒成立，那么实数a的取值范围是()A．－eq\f(3,4)<a<eq\f(3,4)B．－3<a<3C．a<eq\f(3,4)D．a<3答案：A解析：易知f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax2|<3对x∈[1,2]恒成立，即|a|<eq\f(3,x2)对x∈[1,2]恒成立，所以|a|<eq\f(3,4)