几何计算中基于混合多项式的插值与逼近研究的中期报告1.研究背景在计算几何学中，经常需要对一些离散的数据进行插值和逼近处理，以得到一些连续函数的近似表示。传统的插值和逼近方法包括拉格朗日插值、Newton插值、最小二乘法逼近等，它们基于分片多项式，通常需要选取合适的节点和多项式次数，并且对于具有高维结构的数据，通常效果不佳。混合多项式方法是一种新兴的插值和逼近方法，它基于混合多项式空间，可以在复杂的几何结构下高效地进行插值和逼近处理。混合多项式空间通常由低阶和高阶多项式组成，能够处理各种几何结构，如次线性结构、多面体结构等。2.研究内容本研究的主要内容包括以下几点：（1）混合多项式空间的构造本研究首先考虑如何构造混合多项式空间，在次线性结构和多面体结构下分别构造了低阶和高阶多项式空间，并将它们拼接在一起得到混合多项式空间，使得该空间能够适用于各种几何结构。（2）混合多项式插值方法的研究在混合多项式空间的基础上，我们进一步研究了混合多项式插值方法，通过对插值函数进行加权，可以得到高效而稳定的插值函数。同时，我们也研究了混合多项式插值的误差分析，包括了截断误差和插值误差，为后续的研究提供了理论基础。（3）混合多项式逼近方法的研究在混合多项式插值方法的基础上，我们进一步研究了混合多项式逼近方法，我们设计了一种基于最小二乘法的混合多项式逼近算法，并对算法进行了优化，使得逼近结果更加精确。3.研究进展目前，我们已经完成了混合多项式空间的构造和混合多项式插值算法的研究，目前正在进行混合多项式逼近算法的研究和优化。我们还将进一步对混合多项式插值和逼近方法进行优化，提高算法的效率和精度，并在实际应用中进行验证。