第6章插值与逼近插值方法,这里主要讨论函数类P是代数多项式,即所谓的多项式插值.其系数行列式为就是函数(x)满足插值条件(6.2)的n次插值多项式.若记n+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),则lk(x)可写成易见,L1(x)就是过点(x0,(x0))和点(x1,(x1))的直线.为了研究插值多项式的近似程度,记Rn(x)=(x)-Ln(x)称为n次Lagrange插值余项.Rn(x)=C(x)n+1(x)若|(n+1)(x)|在[a,b]有上界Mn+1,则Lagrange插值余项也可写成在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误差估计式如在例3中,再以节点x1=11,x2=12,x3=13作二次插值多项式L2(1)(x),则L2(1)(11.25)=2.420301,由(6.7)式得称(xj)-(xi)与xj-xi(ij)的比值为(x)关于点xi,xj的一阶差商,并记为[xi,xj],即为(x)关于点x0,x1,…,xk的k阶差商.以上定义中,点x0,x1,…xk为互不相同的点.项式;当k>n时恒等于0.例4给出函数y=(x)的函数表(x)=(x0)+(x-x0)[x0,x]则有Nk+1(x)=Nk(x)+k+1(x)[x0,x1,…,xk+1]k=1,2,…,n-1对ƒ(x)=(1+25x2)-1,在区间[-1,1]上取等距节点xi=-1+ih,i=0,1,…,10,h=0.2,作ƒ(x)关于节点xi(i=0,1,…,10)的10次插值多项式L10(x),如图所示1.分段线性插值2.分段二次插值可见,S2(x)是收敛的,而且S2(x)在[a,b]是连续的,但不可导.则,H3(i)(x)就是满足条件因为i-1(xi)=0,i-1(xi)=0,所以可将i-1(x)写成i-1(x)=(ax+b)(x-xi)2因此满足插值条件H3(xi)=yi,H3(xi)=yi(i=0,1,…,n)的分段三次多项式H3(x)为例6由H3(0)=1得:b=1,§5三次样条插值S(x)在区间[xi-1,xi]上是三次多项式,S(x)=aix3+bix2+cix+di,有4个待定系数,要确定S(x)共有4n个待定系数.S(x0+0)=S(xn-0)当x[xi-1,xi]时,由于于是有再结合不同的边界条件,可得关于mi的方程.若边界条件为周期性边界条件，由S(x0+0)=S(xn-0),和S(x0+0)=S(xn-0),有于是有例7三次样条函数S(x)也可以利用在节点处的二阶导数为参数来表示,设S(xi)=Mi,i=0,1,…,n,则对x[xi-1,xi]有于是有再结合不同的边界条件,可得关于Mi的方程.若边界条件为周期性边界条件，由S(x0+0)=S(xn-0),和S(x0+0)=S(xn-0),有于是有于是有§6正交多项式函数的平方模满足若0(x),1(x),…,n(x)为C[a,b]上的一组线性无关函数,则可得到C[a,b]上一组两两正交的函数组g0(x),g1(x),…,gn(x)满足g0(x),g1(x),…,gn(x)两两正交且满足(1),(2).若p0(x),p1(x),…,pn(x)是[a,b]上权函数为(x)的正交多项式,则有下列性质:是区间[-1,1]上权函数(x)=1的正交多项式,且满足:(2)有三项递推关系是区间[0,+)上权函数(x)=e-x的正交多项式,且满足:§7数据拟合的最小二乘法函数类通常取为:=Span0(x),1(x),…,n(x),其中函数系0(x),1(x),…,n(x)在包含节点xi的区间[a,b]上线性无关.就是在函数类=Span0(x),1(x),…,n(x)中找一个函数y=*(x),使误差向量*的2-范数达到最小值,即寻求拟合曲线问题就转换为求多元函数G(a0,a1,…,an)的最小值问题.于是有若取函数类=Pn=Span1,x,x2,…,xn,正则方程组为x所求拟合曲线为y=1.048810x-0.0369058A+36b=29.97865令1、线性插值(n=1)求lk-1(x):练习题练习题练习题课间休息