中学数学教学参考2001年第5期25思想·方法·技巧数学证明的作用陕西师范大学罗增儒本文通过解题分析来说明数学证明的作强化题型作用.日后遇到类似问题,可以通过用,反过来,又通过数学证明作用的提炼过程辨认,提取出同样的方法来解决(模式识别).来说明解题分析的作用.首先看一组例题.比如遇到1993年高考第(16)题,也许能顺利一、解题案例完成:11例4设a,b,c都是正数,且3a=4b=例1已知2x=5y=10,求证+=1.xy6c,那么1x证明:由2=10]10x=2,111221A.=+B.=+1ycabcab5=10]10y=5.12221211C.=+D.=+相乘10x·10y=2·5,cabcabc11ac+解:由3=6]3=6a,即10xy=10.cbc114=6]2=62b.得+=1.xycc相乘6a·62b=3·2,xy21例2已知3=4=36,求证+=1.cc+xy即6a2b=6.2x证明:由3=36]36x=9,cc同底比较,得+=1,1ya2b4=36]36y=4.22121即=+,应选B.相乘36x·36y=9·4,cab21应该说,能完成这道高考题已经从例1、例+即36xy=36.2、例3中获得了某些理解,否则,就不会将21bc同底比较,得+=1.4=6,xycxy例3已知17=117=100,求证变为2=62b.111但是,这些理解还比较朦胧.可能另一些学生,-=.xy2做过例1、例2、例3后仍不会做高考题.因为1x证明:由17=100]100x=17,他们没有从所做的例题中分析出本质性的方1y-10法.我们以例1为例来作解题分析.117=100]100y=.1711解题中进行了哪些步骤?为什么要进11-10相乘100x·100y=17·,行这样的步骤17?111-对比题目的条件与结论,我们看到3个差即100xy=10=1002.异:111同底比较,得-=.xy2(1)条件是指数形式,结论是分式形式;二、解题分析(3)条件有两个等式,结论是一个等式;这可以称为题组训练(或一题多解),具有(3)条件有数字2、5、10,结论都隐去了.26中学数学教学参考2001年第5期解题的过程是保留相同成分(等式,字母(1)底数推广x、y),消除差异的过程,可以分解为3个步骤.在例1中,将数字2一般化为字母a,将数11字5一般化为字母b,那么数字10应一般化为第1步:由结论式中有、知,应对条件xyab,得式作变形,因而进行第一步运算:命题1设a>0,b>0,若ax=by=ab≠12x=10,10x=2,111,则+=1.y]1xy5=1010y=5.(2)指数推广11这就出现了、,具有消除差异(1)的作xy在同底比较中,ab并非只能取指数为1,z用.也可以为(ab),因而得11命题2设a>0,b>0,若ax=by=第2步:由结论式有+知,应对两式xy111(ab)z≠1,则+=.相乘,因而进行第二步运算:xyz11xy10x·10y=2·5,在命题1中将x看成,将y看成,应mn11+m即10xy=10.不影响同底比较,这实质上是把a看成a,把n这就将已知条件的两个等式合并了起来,b看成b,此时应有11xymn并出现+,具有消除差异(2)的作用.am=bn=ab]+=1.xyxym第3步:同底比较,得为了使表达式好看一点,我们把a看成一11m+=1.个字母A,则a变为A,于是得xy命题3设a>0,b>0,若ax=by=ambn这就隐去了数字2、5、10,并得出结论.mn≠1,则+=1.在这三步当中,最本质的是同底比较.回xy2x这时命题3自动包含了命题2.过头来看例2中把3=36,变为36x=9,正31个数推广是为了使9×4=36,保证同底;例3中把10变1由于例1证明中第一、二步均与等式的个为1002也是为了保证同底;例4中把4b=6c数无关,我们立即可以把上述各命题从两个字c变为2=62b还是为了保证同底.有了同底等式母推广到多个字母.11xx+命题设若12⋯10xy=10,4ai>0,a1=a2==xmmm11ann=a11a22⋯ann≠1,则可得+=1.xym1m2mn而即使改变数据++⋯+=1.x1x2xnmn+αxmmm10xy=10,证明:由已知aii=a11a22⋯ann,得m也可得出mmmmii12nxai=(a1a2⋯an)i.mn+=α.mmmxy相乘a11a22⋯annmm并且只要保持