2000年第10期数学通报3数学证明与数学发现王瑾(沈阳师范学院数学系110031)贺贤孝(辽宁师范大学数学系116029)近些年来,人们谈论比较多的是,通过观察、识,是根本无法用观察、实验、归纳等手段所能达实验、归纳、类比等方法获得新的数学命题.正如到的.这充分说明,数学家们的创造工作一方面依波利亚评论数学的二重性时所阐述的那样“:在创赖于观察、归纳、类比等手段,另一方面是在对演造过程中的数学看来却像一门实验性的归纳科绎推理与证明的深刻理解和分析中去发现新的数学”[1].国内在中学数学教学中也开始研究“如何学事实,开拓新的数学领域,不仅数学家们如此,教猜想”,提倡“发现式”教学,许多中学数学教学作为普通的数学教师,在对数学问题的关注中,也杂志刊登了大量这方面的文章,不容置疑,这是对常常依靠数学证明来扩展对数学领域的认知.传统教学思想的冲击,对于提高学生的数学素质,2演绎证明与数学命题的推广培养学生具有一定的创造能力是十分必要的.但数学命题的推广是指对原有数学命题的条件是人们在如何获得数学发现的认识上还存在片面或结论进行改进,引出一个蕴涵原有命题的新命性,例如文[2]中说到“:在即将进入21世纪的今题.数学命题推广的一种方式就是对原有命题的天,人们进行研究创造,都仍然是经过观察,发现演绎证明进行“去粗取精,去伪存真,由此及彼,由问题,提出猜想而开始的.虽然数学是论证推理的表及里”的思维加工,使我们抓住证明的关键与科学,可是只有论证推理,并不能使我们获得本质实质,以致受到启发,获得新的数学发现.上的新知识”.与这种思想相关的是,人们常常将实例1若正实数a,b,c满足a+b+c=1,数学演绎证明的作用仅限于证实猜想.我们认为:则有数学发现不仅仅来源于归纳和类比,也来自于数1-3a2+1-3b2+1-3c2≤6①学演绎,将数学演绎与数学发现割裂开来的思想《(数学通报》1995年8月号问题969)是错误的.为了更好地培养学生的创造能力,提高通常我们对这类特殊命题是将3个数推广到他们的数学素质,有必要就数学演绎证明与数学n个数,于是推广命题的题设应是:发现的关系作一番探讨.“若正实数a1,a2,⋯,an满足1第五公设的演绎证明与非欧几何的产生a1+a2+⋯+an=1”非欧几何作为与欧氏几何相对立的几何公理但结论应是什么呢?这里涉及两个关键问题:(1)体系,它的产生是从试证欧几里得第五公设开始不等式左边各根式中的字母系数“3”推广后是什的,其间经历了两千年的漫长岁月.么()各平方根式中的“”与不等式右边中的非欧几何学是由演绎推理证明得到数学新发?236“6”是何关系?对于(1),也许人们自然地联想到现的典型例子.非欧几何的公理体系完全脱离了“3”可能是所给正实数的个数.若这样,推广后的欧氏几何空间的束缚,远远超出了人们的经验认y1-y2x1+x22xx最后,我们强调在概念、公式与定理、解题等==-=-x1-x2y1+y22yy教学中,教师都要精心备课、精心设计、精心组织,x12-y以学生为主体,以暴露思维过程为核心,强化反因为AB的斜率-等于PB的斜率y5-x馈,针对实际,讲求实效,才能更有效地全面实施12-yx所以=-数学教学目标.5-xy22整理得:x+y-5x-12y=0.参考文献:叶澜.让课堂焕发生命活力.教育研究.1997,9.©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net42000年第10期数学通报平方根式中各字母的系在新的题设条件下,可推证如下:数应取n;但对于问题如图2所示,作Rt△AD1E1,Rt△D1D2E2,(2),仅靠归纳、类比等⋯RtΔDn-1BEn使得各斜边AD1,D1D2,⋯,Dn-1B方式都难以回答.要解都为1.决这个疑问,获得原命直角边AE1,D1E2,⋯,Dn-1En分别为ka1,题的推广,我们来探讨ka2,⋯,kan,并将有关线段延长,设AE1与BEn①式的证明.由于题中的延长线交于连结则在Δ中平方根式具有明显的几C,AB,RtABC,AC=AE+DE+⋯+DE何意义,故采用数形结112n-1n⋯合法加以证明.图1=ka1+ka2++kan证明如图1所=k(a1+a2+⋯+an)=k示,作Rt△ADE,Rt△DDE,Rt△DBE,使21112223BC=D1E1+D2E2+⋯+BEn=1-ka1各斜边AD1,D1D2,D2B都为1,直角边AE1=22+1-ka2+⋯+1-kan3a,D1E