《《地图学地图学》》电子课件第第三三章章地图投影的基本理论地图投影的基本理论§§33.1.1地图投影的基本概念地图投影的基本概念一、一、地图投影的实质地图投影的实质地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。x=f1(ϕ,λ)y=f2(ϕ,λ)2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论2页/第地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。如何转换?2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/二、投影变形二、投影变形由于地球椭球面是不可展的曲面，要把它完整地表示到平面上，必须有条件地进行局部拉伸和局部缩小，所以必然会产生变形。投影变形表现在以下三个方面：（1）长度变形（2）面积变形（3）角度变形2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/三、主比例尺和局部比例尺三、主比例尺和局部比例尺地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。可表达为（d为图上距离，D为实地距离）d1=DM根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺：在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有变形处的比例尺。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/地图比例尺的表示1.数字式比例尺如1:100002.文字式比例尺如百万分之一3.图解式比例尺直线比例尺斜分比例尺复式比例尺4.特殊比例尺变比例尺无级别比例尺2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/§§33.2.2变形椭圆变形椭圆变形椭圆（底索指线）：地球面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），投影到平面上后，一般成为微分椭圆，特殊情况下为一个圆。通过对这个微分椭圆的研究，可以分析地图投影的变形状况。地球面上一微分圆的任意两相互垂直的直径，投影到平面上一般成为微分椭圆的两共轭直径。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/x′y′设=m为经线长度比；=n为纬线长度比xyx′y′把x=y=mn代入微分圆方程：x222+yr=xy′′22并令r=1,整理得：+=1mn22此式是以椭圆中心为原点，以相交成θ角的经、纬线(共轭直径）为坐标轴的椭圆方程式。由此可以证明：地球面上一微分圆，投影到平面上一般成为微分椭圆（特殊情况下仍为圆）。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/由于斜坐标系应用上不太方便，我们引入主方向的概念：在地球面上某点的两相互垂直的微分线段，投影到平面上仍保持垂直且具有极大、极小长度比的二方向，称为主方向。我们取主方向作为微分椭圆的坐标轴，建立直角坐标系。主方向的长度比即是极值长度比，用变形椭圆的长、短半径a和b表示。xy′′22则椭圆方程式为：+=1ab222010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/为了求证经纬线长度比（m、n）与极值长度比（a、b）的关系，也就是证明阿波隆尼定理，下面我们从任一方向的长度比开始推证：OM′r′设μ==OMr由右图得：rxy′222=+′′其中：xax′=yby′=而：xr=cosβyr=sinβ于是：xar′=cosβybr′=sinβ代入上式：rra′2222=+(cosβb22sin)β222222r′最后得：μ==abcosββ+sinr22010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/22222对于：μ=+abcosββsinD（1）当β=0，则μ=a，代表极大长度比。D（2）当β=90，则μ=b，代表极小长度比。从而证明了：极大、极小长度比的方向是互相垂直的二方向。（）如果经线的方向角为，即，则μ=m1β0β=β022222ma=+cosβ00bsinβDD（2）则纬线的方向角为β0+90，即ββ=+090，则μ=n22222na=+sinβ00bcosβ两式相加得：mnab22+=+22从而证明了阿波隆尼定理中的第一条。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论/在和ΔOMDΔOMD′′′中1Sxy=ΔOMD21Sxy=−′′sin(180Dθ)ΔOMD′′′2又xmx′=yny′=1所以Smnxy=sinθΔOMD′′′21sinSmnxyθPm==ΔOM