期末复习（）——空间角期末复习（3）——空间角一、知识与方法整理：空间角异面直线所成的角图示直线和平面所成的角二面角定义做法二、例题讲解：例1、（1）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,FG,H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）（2）如图,正棱柱ABCD?A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为___(3)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值_________。（4）在正四面体A-BCD中，异面直线AB与CD所成角的大小是_______.AD1A1B1C1oDABBCDC例3、（1）四边形ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，则二面角B?PC?D的大小。为A、30°或45°（2）二面角α?l?β是锐角，空间一点P到α,β和棱的距离分别是22，4和42，则这个二面角的度数为（B、15°或75°C、30°或60°D、15°或60°o小结：异面直线所成的角求法：①平移法②三垂线例2、（1）在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。O（2）直线a是平面α的斜线，直线b在平面α内，当a与b成60O的角，且b与a在α内的射影成45的角时，a与α所成的角为()OOOO(A)60(B)45(C)90(D)135（3）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（II）求CM与平面CDE所成的角．小结：斜线与平面所成的角求法：①定义法②利用cosθ=cosθ1cosθ2）（3）如图，已知△ABC中，∠ABC=30，PA⊥平面ABC，PC⊥BC,PB与平面ABC成45°角，①求证：平面PBC⊥平面PAC；②求二面角A—PB—C的正弦值。例4、如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM//BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：AC⊥BM；（Ⅱ）求二面角M?AB?C的大小；arctan（Ⅲ）求多面体PMABC的体积．303例5、如图,在底面为直角梯形的四棱锥P?ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=23,BC=6.(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;(Ⅱ)求二面角P?BD?A的大小.解法一：解法一（Ⅰ）QPA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．∴BD⊥PA．AD3BC又tanABD==，tanBAC==3．AB3AB∴∠ABD=30o，∠BAC=60o，∴∠AEB=90o，即BD⊥AC．又PAIAC=A．B∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）连接PE．QBD⊥平面PAC．∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP为二面角P?BD?A的平面角．在Rt△AEB中，APAE=ABsinABD=3，∴tanAEP==3，∴∠AEP=60o，AE∴二面角P?BD?A的大小为60o．小结：二面角的求法：①直接法：作出平面角；②另外，注意“无棱的二面角问题”。间接法：cosθ=PAEDCS射S多o例6、2007浙江高考）已知点O在二面角α?AB?β的棱上，点P在α内，且∠POB=45．若对于β内异于O的任意一点Q，浙江高考）（都有∠POQ≥45o，则二面角α?AB?β的大小是．四、课后作业：1、在二面角α?l?β的一个平面α内有一条直线AB，它与棱的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则二面角的大小为；2、线段AB的两端分别在直二面角α－CD－β的两个面α、β内，且与这两个面都成30°角，则直线AB与CD所成的角等于________.3、在正三棱锥S—ABC中，D为AB的中点，且SD与BC所成的角为45，则SD与底面所成的角的正弦值为（）A、o634、如图，已知三棱锥O?ABC的侧棱OAOB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是，OC的中点．Ａ（1）求O点到面ABC的距离；（2）求异面直线BE与AC所成的角；（3）求二面角E?AB?C的大小．解析:.(1)OH⊥面ABC,OH的长就是所要求的距离解析B、C、D、.BC=22,OD=由V=221333OC?CD=2.22ＯＥＣ11S?ABC?OH=OA?OB?OC=36(2)取OA的中