理科数学试题考试时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题）一．单选题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数满足，其中为虚数单位，则（）A．1B．C．2D．3．设等差数列的前项和为，若，则＝（）A．20B．23C．24D．284．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得=（）A．B．C．D．5．下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果；②设有一个回归方程：，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；③线性回归直线：必过点；④在一个的列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变量间有关系（其中）；其中错误说法的个数是（）A．0B．1C．2D．36.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，若，则直线的方程为（）A．B．C．D．7．已知数列的前n项和则（）A．B．C．D．8.若将4个学生录取到清华大学的3个不同专业，且每个专业至少要录取1个学生，则不同的录取方法共有（）A．12种B．24种C．36种D．72种9．已知过点的直线l与圆C：相切，且与直线垂直，则实数的值为（）A．4B．2C．D．10．在的展开式中，的系数是（）A．20B．C．D．11．已知球表面上的四点满足，，若四面体体积的最大值为，则球的表面积为（）A．B．C．D．12．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知，与的夹角为，则________.14．若函数的图象关于对称，则=___________.15.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为____________．双曲线的左､右焦点分别为､，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，点在轴上，，平分，则双曲线的离心率为___________.三．解答题（本大题共6小题，满分70分）17.（本小题满分12分）已知在中，.（1）求角的大小；（2）若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为2，求周长的最大值.18.（本小题满分12分）如图1，在直角中，，，，，分别为，的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示.图1图2（1）求证：；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.19.（本小题满分12分）2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：2.7219139.091095注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，.由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求y关于t的方程.估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.参考公式：回归直线方程是，，.参考数据：.20．（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数.（是自然对数的底数）（1）求的单调区间；（2）记，，试讨论在上的零点个数.（参考数据：）22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，且，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于两点，求的值.理数答案一．选择题123456789101112BADCBCCCDDAD填空题13.214.15.16.三．解答题17.解：（1），，，，即，，，，，解得：.（2）∵的外接圆半径为2，所以由正弦定理得∵，∴，，又与的内角平分线交于点，∴.∴设，则，，在中，由正弦定理得，得，