在讨论函数的微分时，f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，当xx0时，其误差是比x-x0高阶无穷小。令R1(x)=f(x)–[f(x0)+f(x0)(x-x0)]，并假设f(x)在x=x0的某个(mǒuɡè)邻域内具有二阶导数，易得R1(x0)=0,R1(x0)=0,R1(x)=f(x)。当xx0时，将无穷小R1(x)与(x-x0)2相比较，利用柯西中值定理，有(1在x与x0之间)其中在x0与1之间，从而也在x0与x之间。于是故此式称为函数f(x)的一阶泰勒(tàilè)公式,R1(x)称为一阶泰勒(tàilè)公式的余项，当xx0时，它是比x-x0高阶无穷小如果在一阶泰勒(tàilè)公式中，将（在x0与x之间）用x0代替，则有近似公式令可用上述类似推理(tuīlǐ)，得出（在x0与x之间）此式称为函数f(x)的二阶泰勒公式，R2(x)称为二阶泰勒公式的余项，当xx0时，它是比(x-x0)2高阶的无穷小。定理2-9泰勒(Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个区间(a,b)内具有(jùyǒu)直到(n+1)阶的导数，则对任意x(a,b)，有其中（在x0与x之间）此式称为函数f(x)在点x0处的n阶泰勒公式，或按（x-x0）的幂展开的泰勒公式，简称n阶泰勒公式。Rn(x)称为n阶泰勒公式的余项，当xx0时，它是比(x-x0)n高阶的无穷小。二、函数的麦克劳林公式(gōngshì)在泰勒公式(gōngshì)中，如果取x0=0时，则在0与x之间，因此可令=x(0<<1)，从而泰勒公式(gōngshì)变形为其中此式称为函数f(x)的n阶麦克劳林(Maclaurin)公式，或按x的幂展开的n阶麦克劳林公式(gōngshì)。例2-61写出函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式。解因为(yīnwèi)所以注意把这些值代入麦克劳林公式，得可得ex用n次多项式表达的近似式这时产生的误差为（设x>0）如果(rúguǒ)取x=1，则得无理数e的近似式为其误差为当n=10时，可算出e2.718281，其误差不超过10-6。例2-62求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式。解因为又f(0)=0，知它们顺次循环地取四个数:0,1,0,-1,于是按麦克劳林公式得（令n=2m）其中如果取m=1，则得近似(jìnsì)公式sinxx这时误差为作业(zuòyè):习题二62-69感谢您的观看(guānkàn)！内容(nèiróng)总结