2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题填空题:(每小题8分，共80分)要求直接将答案填在题中的横线上.已知集合,若非空集合满足：中各元素都加4后构成的一个子集，中个元素都减去4后也构成的一个子集，则.答案:已知两条直线，，设函数的图像与、分别交于点A、B，函数的图像与、分别交于点C、D，则直线AB与CD的交点坐标是答案:对于正整数,若、,当最小时，我们称为的“最佳分解”，并规定.例如，12的分解有121，62，43，其中43为12的“最佳分解”，则.关于，有以下四个判断：①②；③；④.其中，所有正确判断的序号是.答案:②、④已知为等腰直角三角形，，且，，若，则的面积等于.答案:1在正四面体ABCD中，AO平面BCD，垂足为O.设M是线段AO上一点，且满足，则.答案:1如图1，Rt的三个顶点都在给定的抛物线上，且斜边AB//x轴，则斜边上的高.答案:某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、以为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是元.答案:500设、是两个不同的质数，则被除的余数是.答案:1定义在R上的函数满足：，且对于任意的，都有.则不等式的解集为.答案:从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为m.答案:14000第二试一、（本题满分20分）在中，已知，且.求角A的大小和边的长；若点P在内运动（含边界），且点P到三边距离之和为d,设点P到边BC、CA的距离分别为，试用表示d,并求d的取值范围.答案：二、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆经过坐标原点，且分别与轴、轴交于点（不同于原点）.求证：的面积为定值；设直线与圆相交于不同的两点，且，求圆的标准方程.答案：三、（本题满分20分）如图2，锐角内接于圆，过圆心且垂直于半径的直线分别交边于点设圆在两点处的切线相交于点.求证：直线平分线段.证明：如图4，过点作的平行线，分别交延长线于点，则因为是的外心，所以所以又为圆的切线，所以.所以，于是.同理又，所以，即平分线段.因为，故直线平分线段.四、（本题满分30分）已知数列满足：，.求数列的通项公式；若数列满足：，且对任意正整数,不等式恒成立，求整数m的最大值.若存在，则由知，.依次类推，，这与矛盾.故于是，由，得，即.所以是首项为3、公比为3的等比数列.所以，即由（1）得.从而.于是，不等式等价于令则所以单调递增.所以.于是，，即.故整数的最大值为13.五、（本题满分30分）对于任意的正整数n,证明：.证明：记，.先证明：对任意，有.事实上，因为单调递增，所以.故再证明：对任意，有.当时，，不等式成立.当时，若为奇数，令，则若为偶数，令，则.综上所述，对任意，都有.二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷一、填空题(本题满分56分,每小题7分)1.空间四点A，B，C，D两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则点P与点Q间的最小距离为____________；2.向量为坐标原点，动点满足则点构成的图形的面积为3.设有非空集合且当时，必有，这样的集合A的个数是_____________；4.设其中表示不超过的最大整数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是5.11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次,这样的手机号码有___________个；6.若则的最大值是；7.设函数，满足且对任意都有，则；8.实数满足，则的最大值为；二、解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9.已知数列满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）设为非零常数，若数列是等差数列，记，求10.M是抛物线的准线上任意点，过M作抛物线的切线，切点分别为A、B（A在x轴上方）。（1）证明：直线AB过定点；（2）设AB的中点为P，求｜MP｜的最小值。11.设为正实数，且，求证：12.某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了5