专题二二进制问题知识要点用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十进制计数法的道理实质是一样的。现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，??。为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的乘积的和的形式，如9758（10）=9×103+7×102+5×101+8×100（注：100=1）。任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与2的次方数的乘积的和的形式，如110101（2）=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20典例评析例1将139（10）化成二进制【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“短除法”求得。解因为例2将101101（2）改成十进制数。【分析】我们可以思考一下二进制数101101（2）上各个数位上的1是怎么进上来的，从右往左数第6位是1，是从第5位上满2才进上去是，这个数可以看做21101，第5位上是2，是因为第4位上满2个2才进过来的，可以看作5101，同理第4位上5，是因为第3位上满5个2才进过来的，应是（11,01），同理得出（22,1），（22,1）得45。对于一个十进制数，如果是7385，可以写成7385=7×103+3×102+8×101+5×100。同理二进制也可以写成这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成2的次方数与0或1的乘积，就没必要像上述改写那样麻烦了。解101101（2）=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1=25+23+22+1=32+8+4+1=45例3计算：10110（2）+1010（2）。【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算解10110（2）+1010（2）100000（2）10110（2）+1010（2）=100000（2）例4计算1101101（2）-1011110（2），并要求验算。【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结果是否正确。。解1101101（2）1011110（2）-1011110（2）验算+1111（2）1111（2）1101101（2）例5计算：11101（2）×11（2）【分析】二进制数的乘法计算，同整数乘法一样，也可以列竖式计算，在计算过程当中要注意两点：（1）1乘任何数仍得原数；（2）0乘任何数都得零。。解11101（2）×11（2）=1010111（2）11101（2）×11（2）11101（2）11101（2）1010111（2）例6计算：1001011（2）÷1111（2）。【分析】二进制数的除法同十进制数的除法一样，也可以用竖式计算，但在除的过程当中，要综合运用二进制数的加、减、乘法的计算方法辅助除法计算。解1001011（2）÷1111（2）=101（2）)2()2()2()2()2()2(101011111111111110010111111巩固练习1.将下列二进制数化成十进制的数（1）1101