第十五章Bessel函数习题课*本章主要内容：*例题分析：一、贝塞尔函数的有关性质Δu+λu=0二、在柱坐标中Δu=0的解三、在球坐标中Δu+λu=0的解WuhanUniversity*本章主要内容一、亥姆赫兹方程和拉普拉斯方程在柱坐标中的解Δu+λu=0⎯令⎯→u=⎯R(ρ⎯)Φ(ϕ⎯)Z⎯(z)Δu=0}2Φ′′+nΦ=0→Φn(ϕ)=Ancosnϕ+Bnsinnϕ（若μ<0,记μ=−k2,）kz−kzZ′′+μZ=0→Z(z)=c1e+d2eμ>0,μ=k2（若记）→Z(z)=c1coskz+d2sinkzρ2R′′+ρR′+[(λ−μ)ρ2−n2]R=0当λ−μ≥0时,记k2=λ−μ,x=kρ,y(x)=R(ρ),222xy′′(x)+xy′(x)+(x−n)y(x)=0→y(x)=Jn(x)当λ−μ<0时,记−k2=λ−μ,x=kρ,y(x)=R(ρ),222xy′′(x)+xy′(x)−(x+n)y(x)=0→y(x)=In(x)WuhanUniversity*本章主要内容二、本征值问题：⎧ρ2R′′(ρ)+ρR′(ρ)+(k2ρ2−n2)R(ρ)=0⎨⎩R(a)=0nnxm本征值为：km=,m=1,2,aLnxm本征函数为：Rm(kρ)=Jn(ρ),m=1,2,aL∞k(−1)x2k+νJν(x)=∑()k=0k!Γ(ν+k+1)2π1i(xsinθ−nθ)nJn(x)=edθJ(x)=(−1)J(x)2π∫−π−nnWuhanUniversity*本章主要内容三、贝塞尔函数的性质x1∞(t−)e2t=J(x)tn(1)（1）母函数关系式∑nn=−∞⎧dνν（2）递推公式：[xJν(x)]=xJν−1(x)(2)⎪dx⎨d⎪[x−νJ(x)]=−x−νJ(x)(3)⎩dxνν+12anna2n（3）正交性ρJn(kmρ)Jn(klρ)dρ=Jn+1(kla)δml(8)∫02（4）广义傅氏展开a1n∞cm=ρf(ρ)Jn(kmρ)dρ2∫0f(ρ)=cJ(knρ)a2n∑mnmJn+1(kma)m=12WuhanUniversity*本章主要内容四、球坐标系中亥母霍兹方程的解Δu+λu=0⎯令⎯→u=⎯R(r⎯)()Θθ⎯Φ⎯(ϕ)Φ′′+m2Φ=0Φϕ=Acosmϕ+Bsinmϕ⎧m()mm2⎪1d⎛dΘ⎞⎡m⎤m⎨⎜sinθ⎟+⎢l()l+1−2⎥Θ=0Θ()θ=pl(cosθ)⎪sinθdθ⎝dθ⎠⎣sinθ⎦⎩r2R′′+2rR′+[k2r2−l(l+1)]R=0(k2=λ)x=kr,y(x)=R(r)球Bessel方程x2y′′+2xy′+[x2−l(l+1)]y=0πy(x)=jl(x)=J1(x)l+2x2WuhanUniversity*例题分析一、贝塞尔函数的有关性质⎧d[xνJ(x)]=xνJ(x)(2)1.x4J(x)dx=?⎪dxνν−1∫1⎨d⎪[x−νJ(x)]=−x−νJ(x)(3)法一：⎩dxνν+1dx4J(x)dx=x2[x2J(x)]dx=x2[x2J(x)]dx∫1∫1∫dx2=x4J(x)−2x3J(x)dx2∫2d=x4J(x)−2[x3J(x)]dx2∫dx343=xJ2(x)−2xJ3(x)+cWuhanUniversity⎧d*例题分析[xνJ(x)]=xνJ(x)(2)⎪dxνν−1一、贝塞尔函数的有关性质⎨d⎪[x−νJ(x)]=−x−νJ(x)(3)⎩dxνν+11.x4J(x)dx=?∫1法二：(3)→J1(x)=−J0′(x)x4J(x)dx=−x4J′(x)dx=−x4J(x)+J(x)dx4∫1∫00∫0=−x4J(x)+4x2[xJ(x)]dx0∫0d=−x4J(x)+4x2[xJ(x)]dx0∫dx1=−x4J(x)+4x3J(x)−4xJ(x)dx201∫1432=−xJ0(x)+4xJ1(x)−8xJ2(x)+c知识点：递推公式WuhanUniversity*例题分析一、贝塞尔函数的有关性质1.x4J(x)dx=?∫1法二：x4J(x)dx=−x4J(x)+4x3J(x)−8x2J(x)+c(B)∫1012法一：x4J(x)dx=43(A)∫1=xJ2(x)−2xJ3(x)+c2νJ(x)=J(x)+J(x)(7)Qxνν−1ν+12ν=1:J(x)=J(x)+J(x)→J0(x)→J1(x),J2(x)x1022