2025年吉林省长春市数学高一上学期自测试卷及答案指导一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若函数fx=2x的图像上存在一点P，使得P到x轴的距离是P到直线y=x的距离，则点P的横坐标是（）A.0B.1C.log22D.2答案：B解析：由题意，点P到x轴的距离即为点P的纵坐标，设点P的横坐标为x，则纵坐标为2x。点P到直线y=x的距离为2x−x2。根据题意，有：2x=2x−x2平方两边，得：2x2=2x−x224x=2x−x22令y=2x，则y2=y−log2y22，化简得：2y2−ylog2y−2=0由于y=2x>0，故上式两边同时除以y，得：2y−log2y−2y=0令gy=2y−log2y−2y，求导得g′y=2−1yln2+2y2，由于y>0，所以g′y>0，故gy在0,+∞上单调递增。又g1=2−1−2=−1<0，g2=4−log22−1=2>0，由零点存在性定理，gy在1,2上存在唯一零点。因为2x的值域为0,+∞，所以x的值域为0,+∞，故gy在0,+∞上存在唯一零点。因此，y=2x在1,2上存在唯一解，即x=1。故选B。2、已知函数fx=2x−3，若fa=5，则a的值为：A.2B.4C.6D.8答案：B解析：将fa=5代入函数fx=2x−3中，得到方程2a−3=5。解这个方程：2a=5+32a=8a=82a=4因此，a的值为4，选择B。3、已知函数fx=ax2+bx+c，其中a≠0。若f1=2，f−1=3，且fx在x=1处取得极值，则a+b+c的值为：A.4B.5C.6D.7答案：B解析：由题意得，f1=a+b+c=2，f−1=a−b+c=3。又因为fx在x=1处取得极值，所以f′1=2a+b=0。联立以上三个方程，解得a=1，b=−2，c=3。因此，a+b+c=1−2+3=2。故选B。4、已知函数fx=1x+2x，若fa=fb，则a和b的关系是：A.a+b=2B.ab=1C.a2=b2D.a=b答案：C解析：由题意得，fa=fb，即1a+2a=1b+2b两边同时乘以ab，得到：b+2ab2=a+2a2b移项，得到：2ab2−2a2b=a−b提取公因式2ab，得到：2abb−a=a−b因为a≠b，所以可以两边同时除以a−b，得到：2ab=−1即：a2=b2所以正确答案是C。5、在下列各数中，属于有理数的是：A、2B、πC、0.1010010001...D、−53答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比（分数）的数。选项A和D是根号下的数，它们是无理数。选项B是圆周率π，它也是无理数。选项C是一个无限不循环小数，可以表示为19，因此是有理数。6、在等差数列{an}中，已知a1=3，d=2，则第10项an等于（）A.19B.21C.23D.25答案：C解析：在等差数列中，第n项an可以表示为an=a1+(n-1)d。代入已知条件a1=3，d=2，n=10，得：an=3+(10-1)*2=3+9*2=3+18=21所以，第10项an等于21，故选C。7、已知函数fx={x2+2x,x≤01x,x>0，若函数gx=fx−a有3个零点，则实数a的取值范围是()A.−1,0B.0,1C.1,2D.[2,+∞)1.当x≤0时，函数fx=x2+2x。这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x=−1。在区间(−∞,−1]上，函数是单调递减的；在区间−1,0上，函数是单调递增的。当x=−1时，函数取得最小值f−1=−12+2−1=−1。当x=0时，f0=02+20=0。因此，在x≤0的区间内，函数的值域为[−1,+∞)。2.当x>0时，函数fx=1x。这是一个在0,+∞上单调递减的函数。当x趋近于0+时，fx趋近于+∞；当x趋近于+∞时，fx趋近于0。因此，在x>0的区间内，函数的值域为0,+∞。3.接下来考虑函数gx=fx−a的零点。由于fx在x≤0的值域为[−1,+∞)，在x>0的值域为0,+∞，并且两部分是连续的（在x=0处），所以fx的值域为[−1,+∞)。要使gx=fx−a有3个零点，即fx=a有3个解，那么a必须位于fx在x≤0时的值域内，并且大于fx在x>0时的最小值（即0，但不包括0，因为那样只有2个零点）。同时，a必须小于fx在x≤0时的最大值（实际上是+∞，但在这个问题中，我们只需要考虑a<1就足以保证有3个零点，因为当a=1时，fx=1在x≤0的区间内只有一个解，即x=−1）。综上，a的取值范围是0,1。故答案为：B.0,1。8、已知函数fx=3x2−4x+1，则该函数在x=1处的导数值为：A.2B