第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题参考答案(非数学类,2020年11月)一、(本题满分30分，每小题6分)填空题：2(xsinx)ex1x31【1】极限limx0.【解】利用等价无穷小：当x0时，有11x3，所以1x321x31limx0(xsinx)ex22limx0xsinxx32limx01cosx3x21.32【2】设函数f(x)(x1)nex，则f(n)(1).【解】利用莱布尼兹求导法则，得f(n)(x)n!exCk[(x1)n](k)(ex)(nk)，n122n所以f(n)(1)n!.ek0【3】设yf(x)是由方程arctanxlny1ln2x2y224确定的隐函数，且满足f(1)1，则曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程为.yxy【解】对所给方程两端关于x求导，得y2x2y1xyy，即(xy)yyx，x2y2所以f(1)0，曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程为y1.sinxsinxsin(xy)【4】已知dx，则dxdy.0x200x(xy)【解】令uxy，得Isinxdxsin(xy)dysinxdxsinudu0x0xy0xxusinxdxsinuduxsinudu0x0u0u2sinxdxsinxdxxsinudu.0x0x0ux令F(x)sinudu，则F(x)sinx，limF(x)，所以0u2xx21222122I40F(x)F(x)dxF(x)420.4228【5】设f(x)，g(x)在x0的某一邻域U内有定义，对任意xU，f(x)g(x)，且limf(x)limg(x)a0，则lim[f(x)]g(x)[g(x)]g(x).x0x0x0f(x)g(x)【解】根据极限的保号性，存在x0的一个去心领域U1，使得xU1时f(x)0，g(x)0.当x0时，有ex1x，ln(1x)x，利用等价无穷小替换，得[f(x)]g(x)[g(x)]g(x)f(x)g(x)g(x)1f(x)g(x)g(x)1limlim[g(x)]g(x)aalimx0f(x)g(x)x0f(x)g(x)x0f(x)g(x)f(x)f(x)f(x)aalimg(x)lneg(x)1aalimg(x)lng(x)g(x)ln11g(x)aalimx0f(x)g(x)g(x)f(x)1x0f(x)g(x)x0f(x)g(x)g(x)aalimaa.x0f(x)g(x)n二、(本题满分10分)设数列{a}满足：a1，且aan，n1.求极n限limn!a.nn1n1(n1)(a1)【解】利用归纳法易知an0(n1).由于1(n111a1)1a(n1)(n1)a(n1)(n1)nnan1nnn1(n1)(n1)n(n1)n1an1，………………4分1(nn11(n1)!n1如此递推，得a1)!k!ak!，………………3分n1k11k0因此limn!a1e1.………………3分nnn11limnk0k!三、(本题满分10分)设f(x)在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，且f(0)0，f(1)