京翰教育中心http://www.zgjhjy.com2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1.已知是方程的两个根，则（）A.B.C.D.解原方程变形为，即.令，则，解得.所以或，所以方程的两根分别为和，所以.故选（C）.2.设为△的边上一点，为△内一点，且满足,，则()A.B.C.D.解连PD，则，所以，故，故.故选（A）.3.定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当x∈[0,)时，，则的值为()A.B.C.D.解根据题设条件可知故选（B）.4.已知是一个棱长为1的正方体，是底面的中心，是棱上的点，且，则四面体的体积为()A.B.C.D.解易知平面，设是底面的中心，则平面.因为，所以，故.于是，所以.故选（C）.5.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为()A..B..C.D.解从10个球中取出4个，不同的取法有种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为.故选（D）.6.使得是完全平方数的正整数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解当时，易知不是完全平方数.故设，其中为正整数，则.因为是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数，使得，即，故都是3的方幂.又两个数相差2，所以只可能是3和1，从而.因此，存在唯一的正整数，使得为完全平方数.故选（B）.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.设表示不大于的最大整数，集合，，则_________________.解不等式的解为，所以.若，则所以只可能取值.若，则，没有实数解；若，则，解得；若，则，没有符合条件的解；若，则，没有符合条件的解；若，则，有一个符合条件的解.因此，.8.若数列满足：，则_______.解由两边平方得，又，两式相减，得.由求得，又由递推关系式易知数列是单调递增数列，所以，故，即，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，于是，所以.9.设复数其中，当取得最小值时，__________.解易求得，，于是＝10，取得最小值，当且仅当，解得，所以12.10.设，则函数的最小值为__________.解因为，所以，设，（1）其中等号成立当且仅当成立，此时，设，则.而故，注意到，判断易知满足限制条件的根只有.当时，，不等式（1）取得等号.所以函数的最小值为.11.对于函数，存在一个正数，使得的定义域和值域相同，则非零实数的值为__________.解若，对于正数，的定义域为，但的值域，故，不合要求.若，对于正数，的定义域为.由于此时，故函数的值域.由题意，有，由于，所以.12.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点到其渐近线的距离为.若过点作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于点，且是与的等比中项，则双曲线的半焦距为__________.解设渐近线的方程为，由题设得，解得，双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为.设，直线的方程为，代入双曲线方程消去，得.当，即时，上面的方程恰有两实根，且.由题设可知，，可化为，即，即，解得或.因此，双曲线的方程为或，即或.所以双曲线的半焦距为或.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.过点作已知直线的平行线，交双曲线于点.（1）证明：点是线段的中点.（2）分别过点作双曲线的切线，证明：三条直线相交于同一点.（3）设为直线上一动点，过点作双曲线的切线，切点分别为.证明：点在直线AB上.解（1）直线的方程为，即，代入双曲线方程，得.设，则是方程的两根，所以，于是，故点是线段的中点.………5分（2）双曲线的过点的切线方程分别为，.联立，得两式相加，并将，代入，得，这说明直线的交点在