第十七格与布尔代数定义17、2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b覆盖a。当a<b时,如有c1,,ckL(k1),使ci+1覆盖ci(i=1,2,,k-1),且有a=c1<c2<<ck=b,则称c1,,ck为连接a,b得链。如果L得任何两个元素a<b,总有连接它们得链,则称L就是离散得。有限得离散全序集得哈斯图由一条链组成。例:设G就是一个群,L(G)表示G得所有子群构成得集合,则L(G)关于集合包含关系构成一个偏序集,并且就是格、称为G得子群格例:设G就是一个群,P(G)表示G得所有正规子群构成得集合,则P(G)关于集合包含关系构成一个偏序集并且就是格、称为G得不变子群格例:设B={0,1},≤n为定义在Bn上得关系,对任(a1,,an),(b1,,bn)Bn,(a1,,an)≤n(b1,,bn)当且仅当ai≤nbi(1in),显然这就是一个偏序关系。并且(Bn,≤n)就是格、格得定义就是:设(L;≤)为偏序集,如果对任意得a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。定义17、3(L;≤)为偏序集,当任AL有最大下界,最小上界时,L显然就是格,称为完全格。L自身得最小上界就是整个格L得最大元,记为1;L自身得最大下界为整个格L得最小元,记为0。于就是任xL,x≤1,0≤x。注意:此处得子集A可以就是有限得,也可以就是无限得。例如前面得子群格L(G)就是完全格、例:取S={a,b,c},(P(S);)就是一个格,其最大元就是S={a,b,c},最小元就是。任取一个子集合有最大下界与最小上界,如{{a},{a,c},{c}}得最大下界就是,最小上界就是{a,c};它就是一个完全格。要说明得就是并不就是所有得格都就是完全格、二、作为代数系统得格(L;≤)为偏序集,如果对任意得a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b得最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b得最大下界。而最小上界与最大下界都就是L中得元素。在格(L;≤)中,对任意两个元素a,bL,可唯一确定ab与ab,且它们都属于L,与瞧作为集合L上得2个二元运算定理17、1:(L;≤)为格,则对任意a,bL有:(1)a≤ab,b≤ab,ab≤aab≤b;(2)a≤b当且仅当ab=b;(3)a≤b当且仅当ab=a。非空集合L上与这两个二元运算所具有性质,[L;,]为一个代数系统。定理17、2:(L;≤)为格,任a,b,cL有:L1幂等律:aa=a,aa=a;L2交换律:ab=ba,ab=ba;L3结合律:a(bc)=(ab)c,a(bc)=(ab)c;L4吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a。对于一个代数系统[L;,],其中,为L上得二元运算,它们满足L1～L4,此时有何特点引理17、1:在[L;,]中二元运算,满足L1～L4,则对任a,bL,ab=a,当且仅当ab=b。引理17、2:在[L;,]中,,满足L1～L4,在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b,则(L;≤)为偏序集。自反:反对称:传递:在代数系统[L;,]中,,满足L1～L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b,则(L;≤)为偏序集。(L;≤)就是否为格？关键证明存在最小上界与最大下界因此考虑就是否能证明ab,ab为最小上界与最大下界先证明ab就是a与b得上界,即就是否成立a≤ab,b≤abL1～L4然后证明ab为a与b得最小上界即证明若存在uL,使得a≤u,b≤u,必有ab≤u12定理17、3:如引理17、2所得之偏序集(L;≤)为格。定义17、4:[L;,]为一代数系统,,为定义在L上得二元运算,当其满足L1～L4时,称L为格。并称为积(或交),为与(或并)例:Z+表示正整数集,对任意a,bZ+,定义:ab=(a,b)(最大公因子)ab=[a,b](最小公倍数),就是Z+上得二元运算它们满足L1～L4取Z+得子集P={2n|n=1,2,}有最大下界2,无最小上界,所以它不就是完全格。定义:[L;,]为格,若L中存在元素0,使得对任意得xL有x0=x,则称0为得单位元,并称0就是格得零元;若L中存在元素1,使得对任意得xL有x1=x,则称1为得单位元,并称1就是格得单位元。例:A得幂集格[P(A);,]群G得子群格[L(G);,][Z+;,](Z