§1格的基本概念例：判断<I+,D>、<P(S),>、<Sn,D>是否是格。其中:I+是正整数，D是整除关系，Sn={n的所有因子}如：S6={1,2,3,6}、S8={1,2,4,8}、S12={1,2,3,4,6,12}、S30={1,2,3,5,6,10,15,30}<P(S),>是格∵子集关系是偏序关系，对a,bP(S)，a、b的最小上界等于a∪b，a、b的最大上界等于a∩b。<Sn,D>是格，偏序关系的哈斯图如下：定义2：格代数设<A,≤>是一个格，若在A上定义两个二元运算∨和∧,使得对于a,bA,a∨b等于a和b的最小上界,a∧b等于a和b的最大下界,则称<A,∨,∧>为由格<A,≤>所诱导的代数系统。二元运算∨和∧分别称为并运算和交运算。∨1236∧12361123611111222662121233636311336666661236定义3：设<A,≤>是一个格，由格<A,≤>所诱导的代数系统为<A,∨,∧>。设BA且B≠Ø，如果运算∨和∧在B上封闭，则称<B,≤>是<A,≤>的子格。例：B1={1,2,3,6}，B2={5,10,15,30}，<B1,D>和<B2,D>都是<S30,D>的子格。2对偶原理：设P是对任意格都为真的命题，如果在命题P中把≤换成≥，∨换成∧，∧换成∨，就得到另一个命题P’，把P’称为P的对偶命题。则P’对任意格也是真命题。（其中“≥”是“≤”的逆关系）若<A,≤>是格，可证明<A,≥>也是一个格，且它们的哈斯图是上下颠倒的。格的基本性质：(除自反性、反对称性和传递性之外)(5)a≤ba∧b=aa∨b=b(6)分配不等式：a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)、(a∧b)∨(a∧c)≤a∧(b∨c)(1)a≤a∨b、b≤a∨b、a∧b≤a、a∧b≤b(3)若b≤c，则aA，有a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c证明：吸收律∵a≤aa∧b≤a∴a∨(a∧b)≤a∨a，a∨(a∧b)≤a又∵a≤a∨(a∧b),∴a∨(a∧b)=a由对偶原理得，a∧(a∨b)=a(5)a≤ba∧b=aa∨b=b引理：设<A,∨,∧>是代数系统，其中∨,∧都是二元运算且满足吸收律，则∨和∧都满足幂等律.定理1：设<A,∨,∧>是代数系统，其中∨,∧都是二元运算且满足交换律、结合律和吸收律，则A上存在偏序关系≤，使<A,≤>是一个格。其次证明A中任意两个元素a,b都有最小上界和最大下界。先证a∧b是a和b的最大下界由≤的定义知：(a∧b)∧a=a∧b，(a∧b)∧b=a∧b∴a∧b≤a,a∧b≤b，即a∧b是a和b的下界设c是a和b的任一下界，即c≤a，c≤b，于是有c∧a=c，c∧b=c，而c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c∴c≤a∧b，即证明了a∧b是a和b的最大下界再证a∨b是a和b的最小上界a,bA，∵a∨(a∨b)=(a∨a)∨b=a∨b∴a≤a∨b∵b∨(a∨b)=a∨(b∨b)=a∨b∴b≤a∨b∴a∨b是a和b的上界设c是a和b的任一上界，即a≤c，b≤c，于是有a∨c=c，b∨c=c，而(a∨b)∨c=a∨(b∨c)=a∨c=c∴a∨b≤c，即证明了a∨b是a和b的最小上界∴<A,≤>是格说明：该定理可以作为格的另一个定义，即设<A,∨,∧>是代数系统，其中∨,∧都是二元运算且满足交换律、结合律和吸收律，则<A,≤>是一个格。定义：<A1,≤1>和<A2,≤2>是两个格，由它们诱导的代数系统分别是<A1,∨1,∧1><A2,∨2,∧2>，如果存在一个从A1到A2的映射f，使得对a,bA，有f(a∨1b)=f(a)∨2f(b)，f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)，则称f为由<A1,∨1,∧1>到<A2,∨2,∧2>的一个格同态；称<f(A1),≤2>是<A1,≤1>的格同态象；当f是双射时，称<A1,≤1>和<A2,≤2>是同构的。例：设A1={a,b,c},A2=P(A1),<A1,≤>(≤是小于等于)和<A2,>(是子集关系)都是格，如下图所示。定义f:A1A2，f(x)={y|y≤x,yA}，证明f是格同态。其中c≤b≤a，A2=P(A1)={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}证明：<A1,≤>诱导的代数系统是<A1,max,min><A2,>诱导的代数系统是<A2,∪,∩>x1,x2A1f(x1∧1x2)=f(min{x1,x2})={y|y≤min{x1,x2}}={y|y≤x1}∩{y|y≤x2}=f(x1)∧2f(x2)f(x1∨1x2)=f(max{x