一、格的一般概念偏序集(P;≤)是由一个非空的集合P及在P上定义的偏序关系≤构成在偏序集(P;≤)中，若对任意a,bP有a≤b或b≤a时称P为全序。定义17.1:设(L;≤)为偏序集,如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。定义17.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b覆盖a。当a<b时,如有c1,,ckL(k1),使ci+1覆盖ci(i=1,2,,k-1),且有a=c1<c2<<ck=b,则称c1,,ck为连接a,b的链。如果L的任何两个元素a<b,总有连接它们的链,则称L是离散的。有限的离散全序集的哈斯图由一条链组成。例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群构成的集合,则L(G)关于集合包含关系构成一个偏序集,并且是格.称为G的子群格例:设G是一个群,P(G)表示G的所有正规子群构成的集合,则P(G)关于集合包含关系构成一个偏序集并且是格.称为G的不变子群格例:设B={0,1},≤n为定义在Bn上的关系,对任(a1,,an),(b1,,bn)Bn,(a1,,an)≤n(b1,,bn)当且仅当ai≤nbi(1in),显然这是一个偏序关系。并且(Bn,≤n)是格.格的定义是:设(L;≤)为偏序集,如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。定义17.3(L;≤)为偏序集,当任AL有最大下界,最小上界时,L显然是格,称为完全格。L自身的最小上界是整个格L的最大元,记为1;L自身的最大下界为整个格L的最小元,记为0。于是任xL,x≤1,0≤x。注意:此处的子集A可以是有限的,也可以是无限的。例如前面的子群格L(G)是完全格.例:取S={a,b,c},(P(S);)是一个格,其最大元是S={a,b,c},最小元是。任取一个子集合有最大下界和最小上界,如{{a},{a,c},{c}}的最大下界是,最小上界是{a,c};它是一个完全格。要说明的是并不是所有的格都是完全格.二、作为代数系统的格(L;≤)为偏序集,如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。而最小上界和最大下界都是L中的元素。在格(L;≤)中，对任意两个元素a,bL,可唯一确定ab和ab,且它们都属于L，和看作为集合L上的2个二元运算定理17.1:(L;≤)为格,则对任意a,bL有:(1)a≤ab,b≤ab,ab≤aab≤b;(2)a≤b当且仅当ab=b;(3)a≤b当且仅当ab=a。非空集合L上和这两个二元运算所具有性质，[L;,]为一个代数系统。定理17.2:(L;≤)为格,任a,b,cL有:L1幂等律:aa=a,aa=a;L2交换律:ab=ba,ab=ba;L3结合律:a(bc)=(ab)c,a(bc)=(ab)c;L4吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a。对于一个代数系统[L;,],其中,为L上的二元运算,它们满足L1～L4,此时有何特点引理17.1:在[L;,]中二元运算,满足L1～L4,则对任a,bL,ab=a,当且仅当ab=b。引理17.2：在[L;,]中,,满足L1～L4,在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。自反:反对称:传递:在代数系统[L;,]中,,满足L1～L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。(L;≤)是否为格？关键证明存在最小上界和最大下界因此考虑是否能证明ab,ab为最小上界和最大下界先证明ab是a和b的上界,即是否成立a≤ab,b≤abL1～L4然后证明ab为a和b的最小上界即证明若存在uL,使得a≤u,b≤u,必有ab≤u定理17.3:如引理17.2所得之偏序集(L;≤)为格。定义17.4:[L;,]为一代数系统,,为定义在L上的二元运算,当其满足L1～L4时，称L为格。并称为积(或交),为和(或并)例：Z+表示正整数集，对任意a,bZ+,定义:ab=(a,b)(最大公因子)ab=[a,b](最小公倍数),是Z+上的二元运算它们满足L1～L4取Z+的子集P={2n|n=1,2,}有最大下界2,无最小上界，所以它不是完全格。定义：[L;,]为格，若L中存在元素0