极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程fx=0(f(x)=m)的解分别为x1,x2且a<x1<x0<x2<b.若x1+x22≠x0，,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0偏移；x1+x22>x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0左偏移；x1+x22<x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0右偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程fx=0（fx=m)的解分别为x1,x2且a<x1<x2<b.若fx1<f(2x0-x2)则x1+x22<x0即函数f(x)在区间（a,b）上极大值点x0右偏；（即峰偏右）若fx1<f(2x0-x2)则x1+x22>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0左偏;（即谷偏左）若fx1>f(2x0-x2)则x1+x22>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点x0左偏;（即峰偏左）若fx1>f(2x0-x2)则x1+x22<x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0右偏;（即谷偏右）x=x1+x22x=x1+x22y=mxy=f(x)x=x0x=x0拓展：若，则的图象关于直线对称；特别地，若（或f(x)=f(2a-x)），则的图象关于直线对称若函数f(x)满足∀x∈(0,a)有下列之一成立：=1\*GB3①f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x))=2\*GB3②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x))则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中=1\*GB3①极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）=2\*GB3②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；性质：1)的图象关于直线对称若x1,x2∈(0,2a)x1≠x2则x1+x2=2a<=>fx1=f(x2),(f'x1+f'(x2)=0,f'x1+x22=0);2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若x1,x2∈(0,2a)x1≠x2则fx1=f(x2)则x1+x2>2a,及f'x1+x22<0极值点偏移解题步骤：=1\*GB3①求函数f(x)的极值点x0；=2\*GB3②构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0-x)(F(x)=f(x0-x)-f(x0+x),F(x)=f(x+2x0)-f(-x),F(x)=f(x)-f(2x0-x))确定F(x)单调性=3\*GB3③结合F(0)=0（F(-x0)=0,F(x0)=0)判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0-x)(f(x+2x0)与f(-x);f(x)与f(2x0-x)）的大小关系;答题模式：已知函数y=f(x)满足fx1=f(x2),x0为函数y=f(x)的极值点,求证：x1+x2<2x0=1\*GB3①求函数f(x)的极值点x0；=2\*GB3②构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0-x)确定F(x)单调性=3\*GB3③判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0-x)的大小关系;假设F(x)在(0,+∞）上单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+x0)>f(x0-x)=4\*GB3④1.（2016年全国I高考）已知函数QUOTE有两个零点.设x1，x2是QUOTE的两个零点，证明：QUOTE+x2<2.2.(2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe-x（xR）.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(Ⅲ)如果且证明证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.3.已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（I