二面角求法赏析摘要：求二面角的大小是高考中经常出现的问题，本文归纳了常见的求解二面角的方法，通过对问题探索与解法反思不断提高解题能力.关键词：二面角求法；定义法；三垂线定理；向量法；射影面积法求二面角的大小是高考中经常出现的问题，因此我们得引起高度重视.只有在平时学习中多积累有关二面角的题型和掌握常见求解二面角的方法才能在问题探索与解法反思中不断提高解题能力.本文就求二面角的方法作如下归纳，供读者借鉴与参考.方法一利用二面角的平面角的定义求作平面角利用二面角的平面角的定义，过棱上某一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所成的平面角即是二面角的平面角.一般地，可以经过棱上的特殊点，如中点、分点、端点等作平面.例1（2010重庆理）如图1，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥底面abcd，pa=ab=，点e是棱pb的中点.图1（1）求直线ad与平面pbc的距离；（2）若ad=，求二面角a―ec―d的平面角的余弦值.解：（1）略.（2）过d作df⊥ce，交ce于f；过点f作fg⊥ce，交ac于g，则∠dfg为所求二面角的平面角.由（1）知bc⊥平面pab，又ad∥bc，所以ad⊥平面pab.故ad⊥ae，从而de==.在rt△cbe中，有ce==.由cd=知△cde为等边三角形，故f为ce的中点，且df=cdsin=.因为ae⊥平面pbc，所以ae⊥ce.又由fg⊥ce知fgae，从而fg=，且g点为ac的中点.连结dg，则在rt△adc中，dg=ac==.因此cos∠dfg==，即二面角a-ec-d的平面角的余弦值为.例2（2010天津理）如图2，在长方体abcd－a1b1c1d1中，e，f分别是棱bc，cc1上的点，cf=ab=2ce，ab∶ad∶aa1=1∶2∶4.（1），（2）略；（3）求二面角a1－ed－f的正弦值.图2解：（1），（2）略.（3）设ab=1，连结a1n，fn.由（2）知de⊥平面acf，所以de⊥nf，de⊥a1n，故∠a1nf为二面角a1―ed―f的平面角.易知rt△cne∽rt△cba.所以=.又ac=，所以cn=.在rt△ncf中，nf==，在rt△a1an中，na1==.连结a1c1，a1f.在rt△a1c1f中，a1f==.在rt△a1nf中，cos∠a1nf==，所以sin∠a1nf=.故二面角a1―ed―f正弦值为.方法二利用三垂线法作平面角我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法.其作图模型为：如图3，在二面角α-l-β中，过平面α内一点a作ao⊥平面β，垂足为o，过点o作ob⊥l于b（或过a点作ab⊥l于b），连结ab（或ob），由三垂线定理（或逆定理）知ab⊥l（或ob⊥l），则∠abo为二面角α-l-β的平面角．图3作图过程中，作出了两条垂线ao与ob（或ab），后连结ab（或ob）.这一过程可简记为“两垂一连”，其中ao为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中有以下几种情况：1．善于利用图中已有的“第一垂线”例3（2010安徽理）如图4，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，ef∥ab，ef⊥fb，ab=2ef，∠bfc=90°，bf=fc，h为bc的中点.?摇?摇（1）（2）略；（3）求二面角b－de－c的大小.图4解：（1）（2）略.（3）因为ef⊥fb，∠bfc=90°，所以bf⊥平面cdef.在平面cdef内过点f作fk⊥de，交de的延长线于k，则∠fkb为二面角b－de－c的平面角.设ef=1，则ab=2，fc=，de=.又ef∥dc，所以∠kef=∠edc，sin∠kef=sin∠edc=，且fk=efsin∠kef=，因此tan∠fkb==，从而∠fkb=60°，即二面角b－de－c的大小为60°.2．借助第三个平面，作“第一垂线”例4（2010四川理）已知正方体abcd－a′b′c′d′的棱长为1，点m是棱aa′的中点，点o是对角线bd′的中点.（1）略；（1）求二面角m－bc′－b′的大小；（3）略.图5解：（1）略.（2）取bb′的中点n，连结mn，则mn⊥平面bcc′b′.过点n作nh⊥bc′于h，连结mh，则由三垂线定理得bc′⊥mh，从而∠mhn