竞赛培训第十九届全国中学生物理竞赛预赛一、（15分）今年3月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）．这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v竖直向下运动时所受的阻力．此阻力可用下式表达2fAv???其中?为一系数，A为沙尘颗粒的截面积，?为空气密度．（1）若沙粒的密度33S2.810kgm????－，沙尘颗粒为球形，半径42.510mr??－，地球表面处空气密度301.25kgm???－，0.45??，试估算在地面附近，上述v的最小值1v．（2）假定空气密度?随高度h的变化关系为0(1)Ch????，其中0?为0h?处的空气密度，C为一常量，411.1810mC???－，试估算当19.0msv??－时扬沙的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变化）一、参考解答（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡，即201Avmg???①式中m为沙尘颗粒的质量，而2Ar??②3s43mr???③得10s43grv????④代入数据得114.0msv??－⑤（2）用h?、h分别表示19.0msv??－时扬沙到达的最高处的空气密度和高度，则有0h(1)Ch????⑥此时式①应为2hAvmg???⑦由②、③、⑥、⑦可解得20s4113rghCv???????????⑧代入数据得36.810mh??⑨评分标准：本题15分。1.第一小题8分。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。第十八届全国中学生物理竞赛预赛试题一、（15分）如图预18－l所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之涞募薪俏?时，杆的角速度为?，求此时物块M的速率Mv。一、参考解答杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度Av的方向与杆OA垂直，在所考察时其大小为AvR??（1）对速度Av作如图预解18-1所示的正交分解，沿绳BA的分量就是物块M是速率Mv，则cosMAvv??（2）由正弦定理知sinsinOABHR???（3）由图看出2OAB?????（4）由以上各式得sinMvH???（5）评分标准：本题15分其中（1）式3分；（2）式5分；（5）式7分。二、（15分）一半径为1.00mR?的水平光滑圆桌面，圆心为O，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C，如图预17-2所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为27.510kgm??－的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为04.0m/sv?的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为02.0NT?时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?2．若绳刚要断开时，桌面圆心O到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O的水平距离为多少？已知桌面高度0.80mH?．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为210m/s．二、参考解答1．因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长的和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变。设在绳刚要断开时绳的伸直部分的长度为x，若此时物块速度的大小为xv，则有0xvv?（1）绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有2200xmvmvTx