一、实对称矩阵的性质性质1实对称矩阵的特征值为实数.(证明略）性质2实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量正交。例：证明：例1设当时，齐次线性方程组为当时，齐次线性方程组为令单位化得求正交矩阵，把实对称矩阵化为对角阵的方法：即例2设当时，由当时，由得正交矩阵解得基础解系把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。2.求方阵的幂齐次线性方程组为是矩阵A的一个特征值，且向量(1,1,…,1)T第六章§5.5二次型其次标准形称为n维(或n元)的二次型.例如：取令例如：二次型例1定义目的：第六章简记矩阵的合同：回忆相似关系：比较合同和相似关系二.化二次型为标准形回忆：主轴定理1.正交变换法用正交变换化二次型为标准形的步骤例1用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。而它们所对应的标准正交的特征向量为（4）写出2.3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：作正交变换X=QY，则§5.6用配方法化二次型成标准形2.配方法令为标准形,并求出所作的可逆线性变换.即所用的可逆线性变换为化二次型即所用变换矩阵为所给二次型中无平方项再配方得所用变换矩阵为得标准形为思考题：1、以上说明：定理思考并回答例4求A的规范正交的特征向量得正交的基础解系写出二次型的标准形例5解得第六章§6.3正定二次型什么条件决定两个二次型等价？惯性定理如果n维的二次型f(x)=xTAx其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵A称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。定理定理总结:二次型f(x)=xTAx为正定二次型(A为正定矩阵)判别二次型例2判别二次型例4例6例8