一切为了学生的发展一切为了家长的心愿2008第七届女子1．(a)问能否将集合表示为它的32个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等；(b)问能否将集合表示为它的33个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等．(刘诗雄供题)(b)能．每个三元集的元素和为．将每两个一组，分成33个组，，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：．故如下33组数，每组三个数之和均相等：．注：此题的一般情况是设集合的三元子集族，满足．记，求所有的整数，使对任意，．2．已知实系数多项式有三个正根，且．求证：．①3.求最小常数，使得对正方形内部任一点，都存在中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间．4．在凸四边形ABCD的外部分别作正三角形ABQ，正三角形BCR，正三角形CDS，正三角形DAP，记四边形ABCD的对角线之和为x，四边形PQRS的对边中点连线之和为y，求的最大值5．已知凸四边形ABCD满足AB＝BC，AD＝DC．E是线段AB上一点，F是线段AD上一点，满足B，E，F，D四点共圆．作△DPE顺向相似于△ADC；作△BQF顺向相似于△ABC．求证：A，P，Q三点共线．（注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列．）．6.设正数列满足及．求正实数，使得当时，有单调性；当时，不具有单调性．7.给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同．在棋盘的每一个小方格中填入，，，这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有，，，这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”．问有多少种不同的“和谐棋盘”？8．对于正整数，令．求证：数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．([x]表示不超过x的最大整数)