2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中k，c为常数，且0c，则（）A.12,2kcB.12,2kcC.13,3kcD.13,3kc答案（D）解析：用洛必达法则2221121000011arctan1111limlimlimlim(1)kkkkxxxxxxxxxcxkxkxxkx因此112,kck，即13,3kc2.曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（）A.2xyzB.0xyzC.23xyzD.0xyz答案（A）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)xyznFFFxyxyxxyzyn切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0xyz，即2xyz。3.设1()2fxx，102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则（）A.34B.14C.14D.34答案（C）解析：根据题意，将函数在[1,1]展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2xxfxxx，它的傅里叶级数为()sx，它是以2为周期的，则当(1,1)x且()fx在x处连续时，()()sxfx。91111()()()()44444sssf。4.设221:1Lxy，222:2Lxy，223:22Lxy，224:22Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iiLyxIydxxdyi，则1234max,,,IIIIA.1IB.2IC.3ID4I答案（D）解析：由格林公式，22(1)2iiDyIxdxdy14DD,在4D内22102yx，因此14II24242222222\(1)(1)(1)222DDDDyyyIxdxdyxdxdyxdxdy在4D外22102yx，所以24II32cos2sin222223[0,1][0,2]2121/2/22323220000001(1)(12cossin)22111122cossin224cossin24241!!111!!22442!!2422!!2xryrDryIxdxdyrrrdrddrdrdrdrdd111242883cos22sin222224[0,1][0,2]2121/2/2232322000000(1)(1cossin)2112cossin24cossin441!!11!!1324422!!242!!24442xryrDryIxdxdyrrrdrddrdrdrdrdd