湖南省长沙市长沙县第九中学2024学年高三开年摸底大联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z满足z1i1i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．iB．iC．1D．1112．如图，设P为ABC内一点，且APABAC，则ABP与ABC的面积之比为3411A．B．4321C．D．363．一辆邮车从A地往B地运送邮件，沿途共有n地，依次记为A，A，…A（A为A地，A为B地）．从A地出12n1n1发时，装上发往后面n1地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达A，A，…A各地装卸完毕后剩余的邮件数记为a(k1,2,…,n)．则a的表达式为12nkk（）．A．k(nk1)B．k(nk1)C．n(nk)D．k(nk)4．执行如下的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．36D．45x2y25．已知双曲线C:1(a0,b0)的焦距为2c，过左焦点F作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点P，若线a2b21段PF的中点在圆O:x2y2c2上，则该双曲线的离心率为（）1A．2B．22C．21D．2216．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A．i3?B．i4?C．i5?D．i6?x2y27．已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右顶点分别为A、A，点P是双曲线C上与A、A不重合的动点，a2b21212若kk3，则双曲线的离心率为()PAPA12A．2B．3C．4D．28．已知抛物线y24x的焦点为F，P为抛物线上一点，A(1,1)，当PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）4334A．B．C．D．3443x2y29．若双曲线1(a0,b0)的一条渐近线与直线6x3y10垂直，则该双曲线的离心率为（）a2b210A．2B．5C．D．232210．设集合A1,2,3，Bxx22xm0，若AB{3}，则B（）A．1,3B．2,3C．1,2,3D．3x2y211．已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于Ma2b2点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A．51B．2C．3D．512．已知函数fxsin(2x)，其中(0,)，若xR,f(x)f恒成立，则函数fx的单调递增区26间为（）2A．k,k(kz)B．k,k(kz)363322C．k,k(kz)D．k,k(kZ)333二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在△ABC中，(ABAC)⊥BC(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．614．在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为5，则实数a的取值范围是____.15．不等式x11的解集为________x1016．变量x,y满足约束条件xy10，则目标函数z2xy的最大值是____．xy30三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。117．（12分）已知函数fxxlnx.x1（1）若fxxlnx在xx,xxx处导数相等，证明：fxfx32ln2；x121212（2）若对于任意k,1，直线ykxb与曲线yfx都有唯一公共点，求实数b的取值范围.19318．（12分）已知变换T将平面上的点1,，(0,1)分别变换为点,2，,4．设变换T对应的矩阵为M．242（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值．19．（