北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答班号学号班内序号题纸上写上你的和选课单上的，!一.单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A是定义在非空集合上的集代数,则下面正确的是.A（A）若AA,BA,则ABA;（B）若AA,BA,则BA;（C）若AA,n1,2,,则AA;nnn1（D）若AA,n1,2,,且AAA,则AA.n123nn12.设,F为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c（A）若AF,BF,则P(AB)P(A)P(B)；（B）若AF,n1,2,,,且AAA，则P(A)limP(A)；n123nnn1n（C）若AF,BF,CF,，则P(ABC)P(A)P(AB)P(ABC)；（D）若AF,n1,2,,,且AA,ij，P(A)P(A).nijnnn1n13.设f为从概率空间,F,P到Borel可测空间R,B上的实可测函数，100100表达式为f()kI，其中AA,ij,A，则fdP；Akijnk0n01100!1若已知P(A)，则f2dP.kk!(100k)!2100100kP(A),255022525kk04.设二维随机变量(X,Y)的概率密度2,0x1,0yx,f(x,y)0,其他，则E[E[X|Y]]=.2/35.设随机过程{X(t)Xcost,t}，其中随机变量X服从参数为1的指数分布，(0,/2)为常数，则（1）X(1)的概率密度f(x;1)；（2）E(2X(t)dt).0x1ecos,x0,1f(x;1)cosE(2X(t)dt)00,其他，16.设{W(t),t0}是参数为2(0)的维纳过程，令X(t)W()，则相关t2函数R(1,2).X27.设齐次马氏链的状态空间为E{1,2,3},一步转移概率为0.50.50P0.50.500.20.30.5则（1）limp(n)；（2）p(n).1/2,21133nn0二.概率题（共30分）1.(10分)设(X,Y)的概率密度为2x2x2112f(x,y)e22,22令UX2Y2,VY,（1）求(U,V)的概率密度g(u,v)；（2）求U的边缘概率密度g(u).Uux2y2,xu2v2,解解.（1）解方程得|v|u,vy,yv,uvu所以雅可比行列式J2u2v22u2v2,2u2v201故u1ue22,|v|u,g(u,v)f(x,y)|J|22u2v2……5分0,其他.（2）对u0，uu1ug(u)g(u,v)dve22dvUu22u2v2uuuu1ue22dve22,22uu2v222uue22,u0,故g(u)22……10分U0,其他.2.（10分）设(U,V)的概率密度eu,uv0,v0,g(u,v)0,其他，1,{V1}，（1）求E(I|U10)，其中I()（2）D(V|U).{V1}{V1}0,其他，3解U的边缘概率密度为uuuuedv,u0,ue,u0,g(u)g(u,v)dv0U00,其他,0,其他,所以条件概率密度1g(u,v),0vu,g(v|u)u……4分V|Ug(u)U0,其他.（1）11E(I|U10)P(V1|U10)10g(v|u10)dv10dv.{V1}1V|U1102……7分u2U2（2）因为D(V|Uu)，所以D(V|U)。……10分12123.（10分）设X,X,,X独立同分布，均服从两点分布，即12nP{X0}p,P{X1}=1-p,(0p1)，令YXXX，（1）求Y的