2016随机过程（A）解答1、（15分）设随机过程X(t)UtV，t(0,)，U，V是相互独立服从正态分布N(2,9)的随机变量。1)求X(t)的一维概率密度函数；2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。3)求X(t)的二维概率密度函数；解：由于U，V是相互独立服从正态分布N(2,9)的随机变量，所以X(t)UtV也服从正态分布，且：m(t)EX(t)EUtVtEUEV2t2D(t)DX(t)DUtVt2DUDV9t29x2t22118(t21)故：(1)X(t)的一维概率密度函数为：ft(x)e,x32t21(2)X(t)的均值函数为：m(t)2t2；相关函数为：R(s,t)EX(s)X(t)E(UsV)(UtV)stEU2(st)EUVEV2st13(st)413协方差函数为：B(s,t)R(s,t)m(s)m(t)9st9（3）相关系数：B(s,t)9st9st1(s,t)D(s)D(t)9s299t29s21t21X(t)的二维概率密度函数为：1(x2s2)22(x2s2)(x2t2)(x2t2)211222222212(1)9(s1)9s1t14(t1)fs,t(x1,x2)e18s21t21122、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为：419t,0t4(t)80,4t7在10:00—14:00之间到达商店顾客数X(6)X(2)服从泊松分布，其均值：646m(6)m(2)(t)dt(419t)dt80dt282224在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率为：(282)0PX(6)X(2)0e282e2820!在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：m(6)m(2)2823、（13分）设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有8户定居，如果一户4人的概率为0.2，如果一户3人的概率为0.3，一户2人的概率为0.3，一户1人的概率为0.2，并且每户的人口数是相互独立的随机变量，求在8周内移民到该地区人口数的数学期望与方差。解：已知移民到某地区定居的户数N(t)是一个强度8的泊松过程，第i户的人口数Yi（i1,2,L）是相互独立同分布的随机变量，在t周内移民到该地区人口数：N(t)Y1234是一个复合泊松过程，的分布为：iX(t)YiYii1P0.20.30.30.2EY2.5EY27.3由公式：EX(t)tEY,DX(t)tEY2可得在5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为：EX(5)882.5160,DX(5)887.3467.24、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.20.30.5P0.10.50.40.60.20.2（1）求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。（2）求两步转移概率矩阵P(2)及当零时刻初始分布为：P{X01}0.2,P{X02}0.2,P{X03}0.6,时，经两步转移后的绝对分布。解：T（1）此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布{1,2,3}满足：10.210.120.6320.310.520.2330.510.420.231231323437解得：,,110321033103323437故平稳分布T{,,}103103103110311031103各状态的平均返回时间：1,2,31322343370.20.30.50.20.30.50.37