2011年高考数学函数与导数专题攻略.doc
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2011年高考数学函数与导数专题攻略一、10年高考真题精典回顾:1.(2010山东理数)(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)当时,讨论的单调性;(Ⅱ)设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.(Ⅱ)当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意,有,又已知存在,使,所以,,即存在,使,即,即,所以,解得,即实数取值范围是。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数。2.(2010北京理数)(本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,(1))处的切线方程;(Ⅱ)求()的单调区间。解:(I)当时,,由于,,所以曲线在点处的切线方程为即(II),.当时,.所以,在区间上,;在区间上,.故得单调递增区间是,单调递减区间是.当时,由,得,所以,在区间和上,;在区间上,故得单调递增区间是和,单调递减区间是.当时,故得单调递增区间是.当时,,得,.所以没在区间和上,;在区间上,故得单调递增区间是和,单调递减区间是3.(2010浙江理数)(本题满分14分)已知是给定的实常数,设函数,,是的一个极大值点.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在,求所有的及相应的;若不存在,说明理由.解析:本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。(Ⅰ)解:f’(x)=ex(x-a)令于是,假设当x1=a或x2=a时,则x=a不是f(x)的极值点,此时不合题意。当x1a且x2a时,由于x=a是f(x)的极大值点,故x1<a<x2.即即所以b<-a所以b的取值范围是(-∞,-a)此时或(2)当时,则或于是此时综上所述,存在b满足题意,当b=-a-3时,时,时,4.(2010辽宁理数)(本小题满分12分)已知函数(I)讨论函数的单调性;(II)设.如果对任意,,求的取值范围。解:(Ⅰ)的定义域为(0,+∞)..当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;当-1<<0时,令=0,解得.则当时,>0;时,<0.故在单调增加,在单调减少.(Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而,等价于,①令,则①等价于在(0,+∞)单调减少,即.从而故a的取值范围为(-∞,-2].……12分5.(2010江西理数)(本小题满分12分)设函数。(1)当a=1时,求的单调区间。(2)若在上的最大值为,求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解:对函数求导得:,定义域为(0,2)单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时,令当为增区间;当为减函数。区间上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比较得到,确定待定量a的值。当有最大值,则必不为减函数,且>0,为单调递增区间。最大值在右端点取到。。6.(2010天津理数)(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,(Ⅲ)如果,且,证明【解析】本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力,满分14分(Ⅰ)解:f’令f’(x)=0,解得x=1当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表X()1()f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数,在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明:(1)若(2)若根据(1)(2)得由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞