§7.1傅里叶变换(biànhuàn)傅里叶级数的复指数(zhǐshù)形式//设非周期函数F(t)在区间内连续、可积，且绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三角级数表示当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是当L时，，令，则有当L趋向无穷时，自然趋向于一个函数，称为函数F的傅里叶变换，定理7.1若F(t)在(-,)上满足下列条件：1)F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；2)F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点；3)F(t)在区间(-,)上绝对可积，即是积分收敛.则F的傅里叶变换存在，且有例7.1求函数的傅里叶变换，并验证傅里叶逆变换.当，考虑在上半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理得由奇偶性知道，虚部为一奇函数，积分(jīfēn)为零，因此有例7.2求函数的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中>0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到的一个函数.傅里叶逆变换例7.3求函数的傅里叶变换和逆变换的积分表达式，其中.这个函数叫做钟形函数，又称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一.为复平面s上的解析函数，取如图闭曲线：正方形ABCD，由哥西积分定理得同理可得，当R时，有的傅里叶逆变换§7.2单位脉冲(màichōng)函数及其傅里叶变换电流为零的电路(diànlù)中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路(diànlù)上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电路(diànlù)的电荷函数，那么考虑函数集合：D={;是定义在(-,)上无穷可导、性质很好的函数}.不仅可以在(-,)上展开成幂级数，而且当时，函数快速地趋向于零.设,D，k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D成为一个向量空间.最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性映射(yìngshè)：对任意的D，有例7.4证明单位阶跃函数的傅里叶变换为.当t=0时，显然有若时，则其傅里叶逆变换为所以，1是的傅里叶逆变换.例7.6求正弦函数F(t)=的傅里叶变换.§7.3傅里叶变换(biànhuàn)的性质定理7.2设函数f,g的傅里叶变换分别为F[f],F[g]，则有下面的结论成立.(1)(线性性质)对任意的常数,，有(2)(位移性质)设t0为一个常数，则有(3)(微分性质)如果在上连续，或只有有限个可去间断点，且当时，则有(4)(积分性质)如果当时，有，则有证明(zhèngmíng)(2)证明(zhèngmíng)(3)例7.7求常系数线性常微分方程的解，其中，a0,a1,...,an-1均为常数.则有，再求傅里叶逆变换，可得又，而函数f是实函数，所以有定理7.4*设，则有称为帕塞瓦尔(Parseval)等式.§7.4卷积例7.8证明卷积满足乘法对加法的分配律，即是例7.9设函数函数求f与g的卷积.若t>0，此时只有当时，有f(s)g(t-s)0，所以有2.卷积定理/感谢您的观看(guānkàn)！内容(nèiróng)总结